Aprender y divertirse con la Hoja de Cálculo
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Aritmética

Propuestas
 

 


 


Dentro de estas propuestas encontrarás búsquedas, ejercicios, demostraciones, etc. ordenadas según los siguientes temas:

 

 

Búsquedas

Generales
Ecuación de Pell
Ecuación pitagórica

Comprobaciones

 

 

El número 1089 (ver también Demostraciones)

Multiplicación "rusa"

Números curiosos

 

Los números 50, 65 y 85  
El 69
Números cíclicos
El número 365
El número 37037
Constantes de Kaprekar: 495, 6174, etc.
Otras curiosidades

Demostraciones

 

De tipo general
Principio de inducción completa
Números figurados
Sucesiones

 

Desarrollos extensos

 

Visor de sucesiones de números naturales

 

Hoja de Cálculo

 

 

Operaciones curiosas
Mitad de mitad de mitad...
Extracción de cifras
Los cuadrones pares


Cuestiones y problemas

 

Problemas de concursos y olimpiadas matemáticas.
 

     
     

 


 

Búsquedas

  Puedes usar el Buscador de números naturales

 

 

Búsquedas generales

Encuentra, usando el Buscador, un número de cuatro cifras, del tipo aabb, que sea cuadrado perfecto.

Ayuda: Pedir que sea cuadrado es elemental en el Buscador. La estructura aabb la puedes pedir usando las declaraciones y mediante dos igualdades con la función CIF. CIF(4)=... La solución se encuentra entre 7000 y 8000 y es el cuadrado de un capicúa.

 

Ecuación de Pell

Con el buscador de números naturales es muy fácil encontrar soluciones de la ecuación de Pell: ax2+1 = y2, con a entero positivo.

Por ejemplo, para resolver 8x2+1 = y2, sólo tienes que usar las condiciones

Cuadrado SI

porque buscaremos el valor de y, que figura al cuadrado

a*N2+b*N+c Cuadrática SI
a b c
8 0 1

que representa la forma cuadrática 8x2+1

Busca, por ejemplo, entre 1 y 1000 y conseguirás las soluciones

9 = 8*1 +1 , que corresponde a la solución y=3 x=1
289 = 8*36+1. Es decir, que y=17 x=6
9801 = 8*1225+1, que equivale a y=99 x=35


 

Ecuación pitagórica

La ecuación z2 = x2+y2 se resuelve de forma similar a la anterior

Usamos la misma condición de exigir que z sea cuadrado

Cuadrado SI

y definimos una suma especial de esta forma:

Suma especial SI
Escribe C,T,P,o N= (o nada) en cada celda A C
B C
C
 
D  

 

 


 

Comprobaciones

Propiedad del número 1089

Consulta las propiedades de este número en el apartado de Demostraciones.

Si deseas que tus alumnos y alumnas comprueben tan sólo esta propiedad, puedes usar las hojas de cálculo siguientes

el1089.xls
el1089.ods

 

Multiplicación "rusa"

Con este algoritmo clásico para la multiplicación, que se remonta al antiguo Egipto y que también es conocido como multiplicación rusa puedes desmitificar en las clases la clásica forma de multiplicar. Este algoritmo consiste en duplicar sucesivamente uno de los factores, mientras el otro (de forma paralela) se va reduciendo a mitades enteras. Después el producto se consigue tachando las parejas cuya parte “mitad” es impar y sumando los “dobles” restantes.

  Puedes usar la hoja de Cálculo correspondiente

 

Desarrollos extensos

 Visor de sucesiones de números naturales

  Abre el Visor de números naturales

 

Existen tantas sucesiones de números naturales, y con tan elevado número de propiedades, que resulta interesante disponer de un Visor que permita observar los términos de una sucesión mediante la expresión de su término general o de la definición por recurrencia.

Lee el documento visor.htm, en el que además de contener las instrucciones para su manejo, propone diversas comprobaciones de propiedades, equivalencia entre definiciones, etc.

 

Lee el documento visor.htm

Puedes seleccionar algunas de ellas y confeccionar una Guía para su uso en las clases.


Números curiosos

 

Los números 50, 65 y 85 son los primeros que se descomponen en suma de dos números cuadrados de dos o más formas distintas, salvo el orden. ¿Cuántas?

 

El número 69, además de otras connotaciones no matemáticas, tiene una curiosidad ("Nuevos divertimentos matemáticos" de Mariano Mataix), y es que entre su cuadrado y su cubo se utilicen todas las cifras (del 0 al 9) y una sola vez cada una. Compruébalo.

 

Números cíclicos

Un número natural de n cifras se llama cíclico cuando al multiplicarlo por cualquier otro número natural entre 1 y n se obtiene un resultado formado por las mismas cifras que él, pero desplazadas cíclicamente.

Por ejemplo, el número 142857 al multiplicarlo por 2 se convierte en 285714 y al multiplicarlo por 3 en 428571. Intenta todos los productos por los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6

Para buscar otros números cíclicos te damos una idea: el número 142857 se obtiene como periodo decimal al dividir 1 entre 7. Si deseas encontrar otros, deberás intentar dividir 1 entre otros números primos, pero no es seguro que lo obtengas.

Prueba con números primos hasta 100 y quizás obtengas otros ocho números cíclicos, algunos comenzando en uno o varios ceros.

El número 365

Además de ser el número de días enteros que contiene un año no bisiesto, este número presenta dos curiosas propiedades. Dedúcelas de esta tabla:

 

El número 37037

Multiplica el número 37037 por 1,2,3,4,... y observarás que todos los productos tienen una estructura de cifras del tipo abcabc. Puedes organizar una tabla con hoja de cálculo:

37037 * 1 37037
37037 * 2 74074
37037 * 3 111111
37037 * 4 148148
37037 * 5 185185
37037 * 6 222222
37037 * 7 259259
37037 * 8 296296
37037 * 9 333333
37037 * 10 370370
37037 * 11 407407
37037 * 12 444444
37037 * 13 481481
37037 * 14 518518
37037 * 15 555555

¿Por qué ocurre esto? (Descompón el 37037 en factores primos).
¿Por qué falla a partir del 28? (Divide 1000 entre 37).

 

 

Las constantes de Kaprekar

En 1949 este matemático indio estudió la rutina u operación que lleva su nombre. A partir de cualquier número de cuatro cifras N no todas iguales formó dos números distintos: N' formado por las mismas cifras en orden decreciente y N'' formado mediante una ordenación creciente. A la diferencia K(N) = N' - N'' la llamaremos Función de Kaprekar de N. Así K(2543) = 5432 - 2345 = 3087. Esta función puede iterarse, y formar K(K(N)), K(K(K(N))), etc. En el ejemplo K(K(2543)) = K(3087) = 7803 -3087 =  4716. Estas definiciones se extienden a número cualquiera de cifras, aunque Kaprekar sólo estudió el caso de cuatro.

Si se itera la función de Kaprekar puede llegarse al número cero, a una constante o a un ciclo. Este resultado depende del número de cifras y del valor de N. En el caso de terminar en una constante, esto se produce porque K(N)=N. Esto ocurre con el número 495 en el caso de tres cifras y con 6174 en el caso de cuatro (en sistema de numeración decimal), a los que se les llama constantes de Kaprekar para ese número de cifras.
Para dos cifras no existen constantes, pero se producen ciclos, como 9 , 81, 63, 27, 45, 9. Para cinco cifras no existen números invariantes respecto a la función K, pero sí se producen ciclos. Con seis existen dos: 549945 y 631764.

Puedes investigar todo esto con las hojas de cálculo

kaprekar.xls
kaprekar.ods

 

 

Otras curiosidades

Números autogenerados por sus cifras:


15642=1+56+42; 15655= =(1*5)*(6+55); 15656=1+5*6+56 y 15662=1+56+62

2187 = (2+18)7; 1285 = (1+28)*5 ; 3972 = 3+(9*7)2 ; 3125 = (3*1+2)5=(31+2)5 ; 6455 = (64-5)*5; 2502 = 2+502

736 = 7+36 y 343 = (3+4)3
 

Números narcisistas:


17 + 77 + 47 + 17 + 77 + 27 + 57 = 1741725

410 + 610 + 710 + 910 + 310 + 010 + 710 + 710 + 710 + 410 = 4679307774

99 + 19 + 29 + 99 + 89 + 59 + 19 + 59 + 39 = 912985153

13+53+33 = 153

122+332 =1233

882+332 =8833

 

o más bien "enamorados"

93 + 13 + 93 = 1459
13 + 43 + 53 + 93 = 919

 

Descomposición en potencias

Un millón se puede descomponer en suma de cubos de varias formas. Aquí tienes las bases que has de usar:

6 46 53 91
28 36 36 96
28 60 66 78
37 44 48 91
55 60 65 70
56 58 67 69

División entre su simétrico

8712/2178=4
9801/1089=9
87912/21978=4
98901/10989=9
879912/219978=4
989901/109989=9
8799912/2199978=4
9899901/1099989=9

¿Seguirá siendo así para más cifras?


Dos números muy cuadrados en conjunto, pero no solos

Los números 184 y 345 no son cuadrados perfectos, pero sí lo son su suma, la suma de sus cuadrados y la suma de sus cubos:

184+345 = 232
1842+3452 = 3912
1843+3453 = 68772

Supersimetrías

(Procedendentes de Numeropedia)

121 = 112

121×(1+2+1) = 484 = 222

12,321×(1+2+3+2+1) = 110,889 = 3332

1,234,321×(1+2+3+4+3+2+1) = 19,749,136 = 4,4442…

123,454,321×(1+2+3+4+5+4+3+2+1) = 3,086,358,025 = 55,5552

12,345,654,321×(1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1) = 444,443,555,556 = 666,6662

1,234,567,654,321×(1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1) = 60,493,815,061,729 = 7,777,7772

123,456,787,654,321×(1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1) = 7,901,234,409,876,544 = 88,888,8882

12,345,678,987,654,321×(1+2+3+4+5+6+7+8+9 +8+7+6+5+4+3+2+1)

= 999,999,998,000,000,001 = 999,999,9992

 

 

 

 


Demostraciones

La dificultad de cada demostración viene dada por el número de "pizarritas":

De tipo general

Principio de inducción

Números figurados

 

Fácil

De tipo medio

Difícil

 


 

De tipo general

 

Para calcular el cuadrado de números terminados en 5, de pocas cifras, basta separar el 5, y multiplicar el número que queda por su siguiente, para después escribirle a su derecha un 25. Por ejemplo: 125 se eleva al cuadrado así: se separa el 5 y queda un 12, multiplicamos 12 por 13, resultando 156. Le escribimos un 25 y ya tenemos el resultado:
1252 = 15625.

Comprueba que esto se cumple siempre e intenta demostrarlo.

Ayuda: Escribe el número como 10A+5

 

Busca un conjunto de números consecutivos cuya suma sea 1000

Ayuda: Ve analizando los distintos casos (2 sumandos, 3, 4...) y pronto descartarás varios de ellos y encontrarás una solución.

 

Si restamos sucesivamente números de dos cifras con los que tienen esas mismas cifras, pero invertidas, siempre llegamos a 9. Por ejemplo: 62 - 26 = 36 ; 63 - 36 = 27 ; 72 - 27 = 45 ; 54 - 45 = 9. ¿Cómo demostrarlo?

Ayuda: Prueba en primer lugar que ocurre con todos los múltiplos de 9

Sugerencia: Intenta lo mismo con números de tres cifras, y observarás que siempre llegarás a 495 y después a 99.

 

Elige un número al cuadrado, por ejemplo el 5^2 = 25. Escribe todos los números enteros consecutivos que están comprendidos entre él mismo (incluido) y el siguiente cuadrado, sin incluir este último.

Por ejemplo:

25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

Haz con ellos dos grupos, de forma que en el primero entre un número más que en el segundo y suma ambos grupos

25+26+27+28+29+30 = 165
31+32+33+34+35 = 165

Como ves, obtienes la misma suma.

¿Ocurrirá siempre esto?

Parece que sí: 9+10+11+12 = 13+14+15 ; 4+5+6 = 7+8

Intenta demostrarlo

Ayuda: Llama al primer número n2 y al último (n+1)2-1 e intenta usar las fórmulas de las sucesiones aritméticas.

Quizás conozcas la propiedad del número 1089. Consiste en elegir un número de tres cifras no repetidas, por ejemplo el 563, invertir sus cifras y restar el menor del mayor de los números así elegidos:

563 - 365 = 198

Después se invierte el resultado y se suman ambos : 198 + 891 = 1089

Elijas los números que elijas, siempre resulta 1089.

¿Te atreverías a demostrarlo?


Ayuda: Representa el número de tres cifras como 100a + 10b + c, con lo que al restarle su simétrico nos resultará un un número del tipo 99n. Lo difícil viene ahora. Intenta representar 99n como 100x+10y+z.

Busca la comprobación con Hoja de Cálculo

 


 

Principio de inducción completa

 

Demuestra que n! > 2n para n>3

 

Demuestra que si n > 24, se verifica siempre que n = 5x + 7y para ciertos x e y naturales.

Ayuda: Comprueba directamente que se cumple para 25,26,27,28 y 29. Para números mayores se debe cumplir que x>3 e y>2. Aplica entonces el principio de inducción completa.

 

Nueva   Si Fn es el término enésimo de la sucesión de Fibonacci, demuestra por inducción completa que se cumple que  Fn  >= n - 1
Ayuda: Deberás comprobar para n=1, n=2 y n=3 y después aplicar la definición de la sucesión de Fibonacci: Fn =  Fn-1 +  Fn-2.

(Puedes comprobarlo con el Visor de sucesiones)

Nueva   Demuestra por inducción completa la siguiente igualdad
(1 + 2 + 3 + 4 + ... + n)2 = 13 +  23 +  33 +  43 + ... + n3

Ayuda: Es trivial la comprobación para n=1, n=2, etc. Para demostrar la igualdad para (n+1), repasa la teoría de números triangulares.

 

Nueva   Demuestra por inducción completa (Ver el Libro de las demostraciones de Aigner y Ziegler, 2005)



siendo  Fn el número de Fermat enésimo

Ayuda: La comprobación para n=1 es sencilla. Para demostrar la igualdad para (n+1), repasa aquello de "suma por diferencia"...


Sucesiones

Sobre la sucesión de Fibonacci

Numeraremos esta sucesión a partir del índice 1, aunque en varios textos las propiedades se refieren a índice 0

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9
f(n) 1 1 2 3 5 8 13 21 34

 

Demuestra la siguiente propiedad de la sucesión de Fibonacci

(a) f(n) = f(n-k).f(k+1) + f(n-k-1).f(k) para k < n-1

Ayuda: Comienza considerando que f(n)= f(n-1) + f(n-2) = f(n-2) + f(n-3) + f(n-2) = 2*f(n-2) + f(n-3), sigue desarrollando cada término y generaliza.

(b) Usa la propiedad anterior para demostrar la siguiente fórmula de duplicación de f(n)

f(2n) = f(n).f(n+1) + f(n-1).f(n) = f(n).[f(n+1)+f(n-1)]

Por ejemplo, f(10) = 55 = f(5).[(f(4)+f(6)] = 5.(3+8) = 5.11 = 55

(c) Según esto, si f(n) es múltiplo de un número m ¿Qué ocurre con f(2n)?

(d) Generaliza a f(3n), f(4n),,, f(kn)

 

 

 

 

 


 

Números figurados

Es evidente que si a un número triangular (a partir del 10), dibujado como un triángulo, se le quitan los objetos de su perímetro, resulta otro número triangular. Intenta demostrarlo numéricamente. ¿Qué fórmula, en función de n, expresa el "perímetro" de Tn? ¿Qué número triangular resulta al suprimir ese perímetro?

Demuestra, por inducción completa, que la suma de los n primeros cubos equivale al número triangular Tn elevado al cuadrado. Por ejemplo, 1+8+27+64 = 100 = 102

Variante: ¿Es cierto que la diferencia entre los cuadrados de dos números triangulares consecutivos es un cubo perfecto? (Esta variante es más fácil y te puede dar ideas sobre la primera)

Otra variante: 1 = 13, 3+5 =  23, 7+9+11 =  33, 13+15+17+19 =  43

¿Ocurrirá siempre así? Intenta demostrarlo de forma autónoma o basándote en las anteriores variantes.

 


Cuestiones y problemas de concursos y olimpiadas

La dificultad de cada cuestión o problema viene dada por el número de "pizarritas":

 

Fácil

De tipo medio

Difícil

 

 

 ¿Qué número cumple que 3!.5!.7! = N! ?

La solución la obtienes fácilmente. Es el número 10.

 

Calcular 12 - 22 + 32 - 4+ 52 - 62   + ... + 19982 + 19992  

Si descompones las diferencias de cuadrados obtendrás una progresión aritmética de suma 1999000

 

La representación de un número N en base b es el número de dos dígitos PQ en el que P=b-2 y Q=1. Halla la representación de N en base b-1.

Intenta resolverlo mentalmente. La solución es 100(b-1

Uso de la hoja de cálculo:

También puedes comprobar el resultado con las hojas sistenum.ods y sistenum.xls, pero no es fácil. Hay que prestar atención a los cambios directos e inversos.

 

Dados tres números enteros a, b y c, de suma 14, se sabe que a+b, b+c y c+a están en proporción con 6, 7 y 8 respectivamente. Calcula el valor de c

Con operaciones de álgebra elemental llegamos a c=6

 

La suma de la media aritmética y la media geométrica de dos números es igual a 200. Encuentra el valor de la suma de las raíces cuadradas positivas de ambos números.

No es difícil. la solución es 20.

 

Los lados de un triángulo rectángulo vienen dados por números enteros. Dos de ellos son primos y difieren en 50 unidades. Calcula el menor valor posible del tercer lado.

En las ternas pitagóricas un cateto siempre es par, y no podría ser primo, porque el 2 no entra en ninguna terna pitagórica. Por tanto, los números primos son un cateto y la hipotenusa. Con esta consideración llegarás a que el valor mínimo de ese cateto es 11, y la terna será 11, 60 y 61.

 

En la igualdad (1+3+5+7+...+p) + (1+3+5...+q) = (1+3+5+...+r) sabemos que p>7. Encuentra el valor mínimo que puede tener la suma p+q+r

Es fácil encontrar la solución si recuerdas la fórmula de la suma de los primeros números impares. La solución pedida es p=11, q=15, r=19, y , por tanto, p+q+r=45

 

El número X tiene 11 dígitos en su representación decimal. El número Y tiene k dígitos, y su producto XY, 24 dígitos. Encuentra el valor máximo que puede tener k.

¿Entre qué potencias de 10 estará cada uno? Por ahí consigues ver que el máximo es 13.

 

¿Cuántos números capicúas de tres cifras son cuadrados de otro capicúa?

Basta recorrer los capicúas de dos cifras hasta cierto número ¿cuál?. La solución es que sólo hay dos: el 121 y el 484.

Para que el Buscador de Naturales los encuentre hay que programar las siguientes condiciones:

 

Capicúa SI
   
a*N2+b*N+c Cuadrática SI
a b c
121 0 0

 

con este resultado:
Núm. Resultado Detalles
1 121    121* 1^2 +  0 * 1 +  0
2 484    121* 2^2 +  0 * 2 +  0

 

Intenta justificar por qué se pueden usar estas condiciones.

 

 

¿Qué cuatro valores puede tomar la variable entera x para que se cumpla que x2 = z2 + 120, siendo también z una variable entera?

Deberás descomponer 120 en dos factores de la misma paridad. Así llegas a que x puede valer 11, 13, 17 y 31 (y sus opuestos)

 

En una progresión aritmética, el cociente entre la suma de los r primeros términos y la suma de los s primeros equivale a r2/s2, con r distinto de cero. Calcula el cociente entre el octavo término y el que ocupa el número de orden 23.

Las condiciones del problema suponen, si desarrollas las fórmulas de las sumas, que existe una relación sencilla entre el primer término y la diferencia de la sucesión. Una vez descubierta, es muy fácil comprobar que a8 / a23 es igual a 1/3.

 

El número N = 999... (220)...999 está representado en el sistema decimal por 220 cifras todas iguales a 9. ¿Cuánto suman los dígitos de N2?

Puedes considerar que N2 = (10220 - 1)2 = 10440 + 1 - 2.10220
Reconoce los dígitos que formarán este resultado. Al sumarlos te resultará 1990, que es la solución pedida

Intenta generalizar este resultado par todos los números formados por varios nueves.

Sustituye el 220 por una variable m y obtendrás una suma de 9m.

 

Calcula qué cuatro números enteros positivos cumplen que el cociente (n+1)^2/(n+23) es también un número entero positivo.

Puedes descomponer la fracción algebraica en una parte entera y otra fraccionaria. Esta última ha de ser un número entero, lo que sólo permite los valores de 21, 98, 219 y 461.

Uso de la hoja de cálculo:

Abre sucesiones.ods o sucesiones.xls. Define la sucesión con la fórmula N (para que se vean todos los números), el tope en 500, y define como fórmula la usada en el problema: (N+1)^2/(N+23). Con ello verás que los únicos números que producen un cociente entero son los siguientes:

N A(N) Fórmula
21 21 11
98 98 81
219 219 200
461 461 441

Aparentemente, también cumplen la condición 459, 460, 462 y 463, pero si aumentas el número de decimales de las celdas observarás que los resultados no son enteros.

Otro procedimiento

Podemos dar un largo rodeo, pero que puede resultar entretenido. Iguala el cociente (n+1)^2/(n+23) a un entero positivo k. Esto dará lugar a una ecuación de segundo grado en n, a la que habrá que exigirle que el discriminante sea un cuadrado de un entero m2. Esto hará que tengamos que resolver otra ecuación de segundo grado en k, a la que exigiremos lo mismo. Con ello llegaremos a una descomposición de 442 en producto de dos factores, de los cuales resultan los cuatro números 21, 98, 219 y 461. Promete un buen trabajo, pero, en realidad, se puede escribir en medio folio.

 

Sean a, b y c enteros con a<>b. Si (4a + 1)(4b + 1) = 3c+1, calcula ab + ba

Si estudias la paridad de cada factor (4a + 1) , (4b + 1) y 3c+1 sacarás la consecuencia de la anulación de alguno de los tres números, y por ello ab + ba tendrá el valor de 1

 

En una progresión aritmética de tres términos decrecientes x > y > z sabemos que los tres son cuadrados perfectos. Calcula el menor valor posible de x.

La condición de constituir una progresión aritmética nos lleva a una igualdad entre diferencias de cuadrados, y de ahí a una condición sencilla que nos lleva a que el menor valor de x es 49

 

Se define una función f(N) N ---> N de dominio y recorrido naturales mediante las siguientes condiciones:

f(1) = 1  ;  f(2s) = 1  ;  Si n<2s  entonces  F(n+2s) = f(n) + 1

(a) ¿Qué significado podemos asignar a esta función?
(b) ¿Cuál es el máximo valor de f(n) para valores de n inferiores a 2001?

Solución

(a) Halla f(n) para valores de n consecutivos, y descubrirás que esta función tiene algo que ver con representar n en sistema de numeración binario.

(b) El máximo valor que puede tomar f(n) es 10, y corresponde al valor de n 1023.


Hoja de Cálculo

Operaciones curiosas

Una forma amena de introducir las técnicas elementales de la Hoja de Cálculo puede ser la de organizar operaciones aritméticas curiosas, como las contenidas en el archivo operaciones, tales como algunos productos por 8 o por 9, ciertos cuadrados, etc.

operaciones.xls
operaciones.ods
  El uso de las hojas de cálculo presenta, respecto a las calculadoras, la ventaja de poder presentar todos los resultados en conjunto y de forma muy ordenada. Puede ser recomendable para el primer uso de este instrumento.

 

 

Mitad de mitad de mitad...

Construye una tabla similar a la de la imagen

Para ello escribe los primeros números naturales hasta el máximo que desees (en la imagen, 20).

Rellena la primera columna con potencias de 2 crecientes inferiores al máximo elegido.

El resto de la tabla (color blanco en la imagen) la rellenas calculando el cociente entero entre el número natural superior y la potencia de 2 de su misma fila. Puedes usar la función COCIENTE.

La fila de color rojo la rellenas con las sumas de las columnas de cocientes. Compara cada número con la suma que produce,

¿Qué observas? ¿Cuál puede ser el origen de las pequeñas diferencias producidas?

Escribe los números superiores en sistema de numeración de base 2

 

 

Extración de cifras

En muchas propiedades aritméticas es útil extraer por separado todas las cifras de un número natural y alojarlas en celdas separadas. Puedes verlo en la propuesta sobre la constante de Kaprekar incluida en este documento.

¿Cómo lograrlo en una hoja de cálculo?

Normalmente se usan las funciones RESIDUO y COCIENTE, además de restas y divisiones. También se puede acudir a los logaritmos, aunque es un poco más complicado. Inténtalo por una técnica recurrente, de ir extrayendo las cifras y tomando nota de lo que queda del número después.

 

Basta programar bien las dos celdas de la derecha, las que en la imagen contienen 67243 y 1. Sólo necesitas la función RESIDUO y después restar y dividir. Más tarde copias esas dos celdas hacia la izquierda y te resultará un esquema recursivo muy simple.

 

Los cuadrones pares de Clifford A. Pickover

Proponemos a continuación la resolución de algunos retos sobre los cuadrones pares de Clifford A. Pickover. Este autor llama así, en su libro El prodigio de los números, a los pares de números p y q como el 10 y el 26, tales que tanto al sumarlos como al restarlos, dan lugar al cuadrado de un número entero (26-10=16 y 26+10=36).

p-q = m2, p+q = n2

Los primeros ejemplos de cuadrones pares son: 4 y 5, 6 y 10, 8 y 17, 10 y 26, 12 y 13, etc.

 


El primer reto consiste en organizar una hoja de cálculo similar a la propuesta en la imagen

Puedes usar otro esquema, pero te puedes basar en el que se presenta, en el cual, la primera columna contiene el primer número del par, q, y las celdas de color azul pastel contienen el segundo número p. Así puedes encontrar los primeros cuadrones pares reseñados en el párrafo anterior: 4 y 5, 6 y 10, 8 y 17, 10 y 26, 12 y 13, 12 y 37, etc.

En este esquema no se incluyen las soluciones triviales en las que ambos números son iguales y su diferencia, por tanto, es el cuadrado de 0: 2 y 2, 8 y 8, 18 y 18, etc.

En las filas superiores se han situado los primeros números naturales y sus cuadrados 1, 4, 9, 16... como posibles diferencias entre los dos cuadrones.

Sobre este esquema te planteamos el reto de conseguir que aparezcan los valores de P: 5, 10, 17, 26, etc., o bien una celda en blanco, con la misma fórmula en todas las celdas de color azul. Debes escribir esa fórmula en la esquina superior del esquema y que al rellenar hacia abajo y hacia la derecha, aparezcan todos lo valores de p.

Si usas otro esquema, plantéate el mismo reto de usar sólo una fórmula en toda la zona de cálculo.

 

 

 

 

El segundo reto surge de la imagen anterior ampliada con más números y vista según una escala mas pequeña.

Se observa que existen números p pertenecientes a un par de cuadrones pares que se sitúan según unas líneas rectas.

Al estudiar las secuencias te darás cuenta de que forman progresiones aritméticas de segundo orden, y que, por tanto, la fórmula que siguen es un trinomio de segundo grado.

¿Qué fórmula polinómica de segundo grado sigue cada una de las rectas?

Puedes usar el interpolador cuadrático interpola.ods (o interpola.xls) al que basta darle tres valores de cada variable

Como ayuda te indicaremos que una de ellas es p = q2/36 + 9

Una vez encuentres las fórmulas (no todas, pues llegarás a una regla de formación) podrás considerar qué valores ha de tener q para que el resultado sea entero. En el ejemplo ha de ser múltiplo de 6.

Con estas consideraciones podrás iniciar una búsqueda sistemática de pares p y q.

 

Un tercer reto:

Los valores de p correspondientes a un mismo valor del cuadrado de la fila superior (en la imagen se han destacado mediante rectas los correspondientes a a los cuadrados 1, 4, 16 y 49) también forman una progresión aritmética de segundo orden.

Si llamamos c al cuadrado superior y n al número de orden dentro de la secuencia (No se trata del valor de q. Por ejemplo, en la secuencia para el cuadrado 16, al 26 le corresponde n=1, al 40, n=2, etc.) obtendremos una expresión de segundo grado para p.

Como ayuda te indicaremos que puede resultar la suma de dos cuadrados.

Una vez encontrada la expresión de p, podemos encontrar q restando el cuadrado c.

 

Por último:

Si piensas que es más fácil situar p en la primera columna y q en la primera fila, quizás te equivoques.

Prueba a conseguir con la misma fórmula en todas las celdas, que se marquen con una O los pares de cuadrones, y se dejen en blanco las demás, y verás que no es nada fácil.