Saber cambiar de estrategia a tiempo.
Posible desarrollo
Se lee en común la cuestión propuesta por el procedimiento que se
juzgue más adecuado.
No se debe nombrar la raíz cuadrada en un principio, salvo que
transcurran los minutos y no se logre ningún avance. Se plantea la
cuestión, explicando las dudas que surjan y se comienza el trabajo
de búsqueda. Es conveniente tener preparados varios ejemplos más con
distinto número de cifras para intentar conseguir que se resuelvan
varios en una misma sesión.
Al finalizar el trabajo se organiza una puesta en común para
compartir resultados y estrategias. Si el proceso va lento, se puede
abrir una debate breve cuando hayan aparecido dos o tres soluciones.
Agrupamiento del alumnado
Puede organizarse en grupos de dos o individualmente. Si se ve
necesario para atender a la diversidad, se pueden permitir grupos de
tres.
Material
(1) Calculadora y papel: Tiene la ventaja de que se puede organizar
el trabajo de forma individual, pero las búsquedas pueden ser
exasperantes.
(2) Hoja de cálculo: Obliga a organizar equipos, pero se da
facilidad para organizar mejor las búsquedas y aprovechar la
posibilidad de ordenar los intentos en serie en una columna.
Evaluación
Debe obligarse a la escritura de conclusiones, ya sea en otra
sesión, o bien fuera del horario escolar. En este ejercicio es tan
importante la velocidad como el descubrimiento de estrategias y
atajos.
La evaluación se realizará atendiendo al documento producido y a las
notas tomadas por el profesorado respecto al desarrollo del trabajo,
número de soluciones, variedad de métodos, etc.
Compartir o no compartir
Propuesta de investigación en el aula
Uno de los teoremas más elegantes de la
Teoría de la Divisibilidad afirma que la probabilidad de que al
escoger al azar dos números naturales, estos resulten primos entre
sí, es decir, que no compartan divisores primos, es igual a
Es evidente que la comprensión y demostración de este teorema
sobrepasa las capacidades del alumnado de Enseñanza Media, pero se
puede intentar una aproximación intuitiva al mismo. Podríamos
plantearnos distintas fases de una experimentación.
Fase 1
Experimentación y cálculo
Experimentación con
frecuencias y con números acotados
El teorema que presentamos contiene infinitos en su enunciado. Por
una parte, la variable aleatoria usada abarca todos los números
naturales. Por otra, no existe máximo en la muestra que podamos
estudiar. Por eso, en el aula nos podemos restringir a números
acotados (por ejemplo, los menores que 100) y a muestras pequeñas, o
bien toda la población de los mismos, que en este caso equivaldría a
10000 pares de números. Al alumnado entonces hay que advertirle que
estudiaremos frecuencias, no probabilidades.
Experimentación
Se pueden usar bolas del bingo (por ejemplo, cien) con reposición, e
ir planteando para cada par si tienen divisores comunes o no. Se
puede organizar por grupos o con toda el aula. Cada alumno o alumna
copiará en su cuaderno los pares y si son primos o no, para obtener
frecuencias.
Con ello obtendremos, una tabla parecida a la siguiente:
Comparten divisores 79
Son primos entre sí 121
Total
200
Frecuencia relativa 0,6050
Si repetimos el experimento varias veces o acumulamos resultados de
varios grupos, nos acercaremos al verdadero valor de la probabilidad
para números menores que 100, cuyo valor exacto es 6087/10000 =
0,6087
Cálculo
¿Cómo podemos encontrar esa probabilidad exacta con una hoja de
cálculo? Si no deseamos acudir a macros, podemos construir una tabla
de doble entrada, por ejemplo de 100 por 100, y calcular la función
de Excel y Calc =M.C.D(a,b) para cada par.
En la imagen puede ver un fragmento de esa tabla:
Sobre esta ella aplicamos la función =CONTAR.SI(Rango de los mcd;1),
para contar los valores 1, y nos resultarán 6087 sobre 10000.
Ampliación
Después, como ampliación, se pueden encargar experimentos con cotas
más altas, como 200, o cálculos de la probabilidad exacta para
números pequeños, como del 2 al 20.
Siempre obtendremos frecuencias o probabilidades cercanas al 0,6,
con lo que el alumnado sospechará que el verdadero valor es el 60%,
por lo que en una segunda fase habrá que sacarle del error:”Esto no
es tan simple”.
Un punto delicado es el de saltar a la idea de infinito, pero en
estos niveles siempre haremos lo que podamos, sin forzar.
Fase 2
Simulación
Con una hoja de cálculo se pueden simular dos columnas de números
aleatorios. La fórmula, como puede ser complicada, se debe sugerir.
Recomendamos usar =ENTERO(1+ALEATORIO()*COTA) , siendo COTA la que
deseemos marcar para los números del experimento, porque funciona
bien en Excel y Calc y no da problemas al recalcular.
En una nueva columna escribimos su M.C.D y contaremos, con CONTAR.SI,
la cantidad de valores 1 que aparezcan. Dividimos después por el
número de filas usadas y tendremos una aproximación a la
probabilidad.
Esta tabla contiene el final de una simulación de números con cota
2000 en una simulación de 2000 filas:
El total de pares se ha calculado con la función CONTAR, el de
coprimos con CONTAR.SI aplicado al valor 1, y la frecuencia mediante
división.
Si deseas una simulación más potente mediante macros, puedes usar
este código:
Sub compartir
Dim i,n,cota,m
dim a,b
randomize
cota=val(inputbox("Cota"))
n=val(inputbox("Número de repeticiones"))
m=0
for i=1 to n
a=int(rnd()*cota+1)
b=int(rnd()*cota+1)
if mcd(a,b)=1 then m=m+1
next i
msgbox(m)
End Sub
Con esta macro podemos preparar tablas en las que se observe su
acercamiento al límite teórico. La siguiente tabla está construida
con 10000 simulaciones para cada nivel:
N 100 500
1000 10000 100000 1000000
P 0,6098 0,6081 0,6119 0,6060 0,6094 0,6093
Se observa la gran estabilidad de este cálculo, ya que a veces los
errores propios de la simulación esconden la convergencia al límite.
Límite similar
También es igual el límite de la frecuencia con la que aparecen los
números libres de cuadrados. Se llaman así a aquellos que no son
divisibles entre ningún cuadrado, como 21 o 30. Es un poco
complicado buscar esos números de forma manual, por lo que podemos
usar una función nueva en la hoja de cálculo, cuyo código puede ser:
Public function librecuad(a)
dim m,n,p
dim divi as boolean
if a<4 then
librecuad=1
else
divi=false:n=2:p=1
while divi=false and n<=int(sqr(a))
if a/n/n = int(a/n/n) then divi=true:p=0
n=n+1
wend
librecuad=p
end if
end function
Es una función que nos devuelve un 1 si el número
está libre de cuadrados, y 0 si contiene alguno.
Se pueden crear columnas paralelas como las de la imagen
y después usar la función CONTAR para calcular la frecuencia
Si diseñamos dobles columnas para números de mil en mil, nos
sorprenderemos de la estabilidad de las frecuencias y su cercanía al
límite
¿Cuántas palabras?
El otro día, después de jugar con mi nieta a inventar palabras, se
me ocurrió una experiencia para el aula, y es la de organizar un
proyecto de estimación del número de palabras que se pueden
construir en nuestro idioma. ¿Cuántas pueden ser? ¿veinte millones?
¿sólo unos miles? ¿miles de millones? ¿trillones?... Quizás así, de
improviso, no se te ocurra ninguna idea.
Parece ser que reuniendo todas las variantes locales, no llegaríamos
a unos pocos cientos de miles de palabras usadas realmente (los
diccionarios no suelen traer más de 90.000), pero aquí nos interesan
las posibles palabras que podríamos inventar.
Objetivo del proyecto:
Estimar el número de palabras posibles que puede contener nuestro
idioma.
Como el planteamiento es muy amplio, se deberían tener en cuenta
estos detalles:
* Se puede acotar la estimación a palabras de no más de cinco
sílabas. Si no, nos toparíamos con molestos infinitos.
* Es bueno que la estimación no se base sólo en técnicas de conteo.
También se deben repasar los conceptos de sílaba directa, inversa o
mixta, los diptongos y los triptongos.
* Lo normal es que en la puesta en común aparezcan grandes
discrepancias en las estimaciones, lo que dará pie a discusión en
grupo e incluso elección de la mejor estimación.
¿Qué podemos conseguir con esta
experiencia?
* Estudio de las sílabas y palabras como objetos de un conteo
* Repaso de las técnicas de contar
* Asimilación del concepto de estimación y de orden de magnitud.
* Ejercitación en la puesta en común, muy necesaria en un tema que
puede admitir variantes en resultados y métodos.
* Experimentación de concurrencias entre dos materias muy distintas,
como la Gramática y la Combinatoria.
* Construcción de esquemas ordenados.
El proyecto podría tener estas fases:
Recuento de sílabas
La primera tarea podría consistir en contar el número posible de
sílabas que comienzan con una letra determinada. No hay que ser muy
exigentes en este primer paso, pero deberán considerar sílabas
directas, mixtas e inversas en su caso. Por ejemplo, para la letra B
se deberían considerar al menos estas: BA, BE, BI, BO, BU, BRA, BRE,
BRI…BLA, BLE,…BAR, BER,..BAS, BES,…BAL,…BLAS, BLES,…BIA, BIAS, BUAI,
BONS,…
No se trataría de realizar un estudio exhaustivo (imposible sin
convenios previos), sino de aproximarnos al uso general de nuestro
idioma. Es posible que se olviden sílabas como INS, TRANS, ABS,…
pero no hay que darle importancia. Se trata de una estimación.
Se podrían contar mediante un producto cartesiano:
Este esquema nos una idea del número de sílabas que forma la B (sólo
una aproximación)
1*8*5*12 = 40*12 = 480
Insistimos en que esta fase no ha de ser demasiado cuidadosa. Habrá
letras que formen unas 480 sílabas y otras (como la A) que formen
menos. Esto es lo bueno, que todo el planteamiento pueda ser
discutido.
El mismo estudio que sugerimos sobre la B se podría repetir con las
demás letras. Por simplificar, supongamos que el número medio de
sílabas por letra fuera de 300 y que letras válidas en español
contáramos 26. Ello nos daría una estimación de 7800 sílabas
distintas.
Recuento de palabras
Seguimos con el producto cartesiano. El número de palabras entre una
y cinco sílabas sería: 7800+78002+78003+78004+78005= 2,88754E+19
¿A que no esperabas que fueran tantas? Son trillones. Ahora te toca
criticar esta estimación, pero reconocerás que no me van a faltar
palabras para inventar con mi nieta.
Pasamos por alto que las sílabas inversas sólo aparecen en primer
lugar. Se trata de dar una idea. Quizás a algún lector le apetezca
realizar un estudio más fino.
Puesta en común
Este paso es imprescindible. Lo ideal sería efectuarlo con una PDI y
libre discusión entre grupos. Puede durar una hora o más, pero no
será tiempo perdido. No se trata de estimar mejor o peor, sino de
llegar a una idea sobre el orden de magnitud y, lo que es más
importante, a un intercambio de métodos.
Publicación
También este paso es insoslayable. Repito algo que siempre comento:
No has aprendido un concepto si no sabes comunicarlo a otros. Se
podrá efectuar en formato de documento o presentación, como una
memoria de la experiencia o usando la web o el blog del centro.
Como siempre en este blog, no sugerimos nivel educativo ni momento
idóneo para organizar este proyecto. El profesor jubilado no quiere
opinar sobre ello. Todo eso queda ya un poco lejano.
Iniciamos la
metodología de "propuestas en ramas" con una colección de
propuestas derivadas de un teorema contenido en el libro
“Recreaciones matemáticas 2” de Édouard Lucas:
