Propuestas para el aula y la casa
En esta sección se incluirán
desarrollos mediante distintos itinerarios de aprendizaje de
propuestas de trabajo destinadas a su uso en las aulas. Se presentarán
en primer lugar en el blog complementario de esta página
Números y hoja de cálculo y
posteriormente se incluirán los desarrollos en esta sección.
En cada propuesta se incluyen diversos apartados, de los que el
profesorado puede elegir los que desee para adaptarse a las
necesidades de sus estudiantes. Se aconseja la metodología del Taller,
que permite fácilmente la atención a la diversidad del alumnado.
Este material se puede usar
y adaptar libremente para su uso en el aula. Para otro tipo de
reproducción o copia se ruega se cite el autor y la fuente.
De tipo
general
Propuestas en ramas
Aritmética y
Álgebra
Fechas cruzadas
Cuadrados de bolas
Cuadrados en progresión aritmética
Sistema de numeración
binaria
Deconstruir y construir números enteros
Ideas para webquest
¿En qué terminan los
números triangulares?
Búsquedas ordenadas
Un cuadrado conocido a
medias
Compartir o no compartir
Ver y Calcular
Suma de cuadrados de
números triangulares
El fósil de un número
Propuestas en ramas (I)
Iniciamos la
metodología de "propuestas en ramas" con una colección de
propuestas derivadas de un teorema contenido en el libro
“Recreaciones matemáticas 2” de Édouard Lucas:
“El número total de puntos de un juego completo de dominós jamás
es igual al cuadrado de un número entero”
A
veces una propuesta sencilla da lugar a múltiples preguntas. El
papel del matemático es el hacerse esas preguntas, aunque no sepa
responderlas. En este caso nos podríamos plantear: ¿A qué llamamos
dominó de n números? ¿Cuál es la fórmula que nos da el número de
fichas? ¿Y el número de puntos? ¿Por qué Lucas afirma que no son
cuadrados perfectos?...
Lo
bueno de este planteamiento es que cada vez que se responde a una
cuestión aparecen otras preguntas, con lo que habremos construido
un verdadero árbol con tantas ramas como nuestra imaginación
conciba. En este ejemplo se abrirían múltiples ramas. Los lectores
quedan invitados a recorrerlas y a inventar otras nuevas:
¿Qué
es un dominó de número máximo n? (Lo nombraremos como
n-dominó)
Intentar una definición formal, sin
olvidar los “blancos”.
Nuestro dominó usual se
corresponde con n=6 (Un 6-dominó).
Se compone de 28 fichas,
con una media de 6 puntos por ficha y un número total de puntos de
168 (demostrarlo)
¿Cuántas fichas y puntos
presenta un n-dominó?
El número de fichas viene dado por la expresión n(n+1)/2 y el de
puntos por n(n+1)(n+2)/2 (demostrarlo).
¿Es cierta la afirmación de Lucas?
Intenta demostrarla considerando cómo
se reparten los factores primos del cuadrado perfecto entre los
factores n(n+1)(n+2)/2
De una
afirmación simple hemos derivado multitud de cuestiones. Unas
sabremos demostrarlas, y otras tendrán que quedarse en conjeturas,
pero su estudio constituirá una verdadera aventura matemática.
Propuestas en ramas (II)
En otra entrada anterior
construíamos unas ramas de propuestas a partir de un teorema
contenido en el libro “Recreaciones matemáticas 2” de Édouard Lucas:
“El número total de puntos de
un juego completo de dominós jamás es igual al cuadrado de un número
entero”
¿Es cierta la afirmación de
Lucas?
Intenta demostrarla considerando cómo se
reparten los factores primos del cuadrado perfecto entre los factores
n(n+1)(n+2)/2
Podemos seguir planteándonos preguntas
sobre este teorema.
Por ejemplo, se podrían considerar proposiciones parecidas y ver en qué
se diferencian del teorema de Lucas:
Esta fórmula es parecida a la de los números
triangulares n(n+1)/2, y sin embargo estos sí pueden ser cuadrados, como
por ejemplo el 36 o el 1225, que son triangulares y cuadrados a la vez
¿Cuál es la diferencia?
¿Valdría la afirmación para
el producto de tres números consecutivos?¿Nunca pueden ser un cuadrado
perfecto?¿Y la expresión n(n+1)(n+2)/6?
Para quienes no se atrevan con las
demostraciones, una salida es comprobar las afirmaiones con una hoja de
cálculo, cambiando el valor de n
¿Podríamos conjeturarlos con
una hoja de cálculo?¿Cómo?
Por último, nos podemos dar cuenta de que
las expresiones que hemos usado: n(n+1)/2, n(n+1)(n+2)/2 y
n(n+1)(n+2)/6 producen siempre un resultado entero para n entero a pesar
de contener coeficientes fraccionarios
¿Conoces otras con la misma propiedad? Haz un estudio exhaustivo de este
tipo de expresiones enteras.
¿Os apetece crear unas ramas de propuestas a
partir de una cuestión determinada?
En otro momento
publicaremos ramas de propuestas similares. pueden ser útiles en la
Atención a la diversidad, asignando ramas distintas según los niveles
del alumnado.
Fechas cruzadas
Elige una hoja de calendario, y
destaca en ella un rectángulo cualquiera (ver imagen). Multiplica los números
situados uno arriba a la izquierda (lo nombraremos como F11) y el otro abajo a
la derecha (F22, al final de la línea roja de la imagen, números 7 y 29).
Multiplica también los situados en los vértices restantes (F12=8 y F21=28 en el
ejemplo). Resta los productos y descubrirás que
El producto de los números de la diagonal roja
F11*F22 es siempre menor que los de la verde, F21*F12, independientemente del
rectángulo que hayas elegido, y su diferencia (negativa) es siempre un múltiplo
de 7
Puedes trabajar sobre este hecho
analizándolo desde varios puntos de vista
(a)
¿Ocurre esto siempre así? Para demostrarlo
puedes llamar X al número más pequeño (7 en el ejemplo) y a partir de él, le das
como nombre una expresión que contenga X también a los otros cuatro. Desarrolla
los productos y te darás cuenta de que el resultado es siempre negativo.
(b)
Simultáneamente verás que es múltiplo de 7
(debes demostrarlo o razonarlo bien).
Cambia el salto entre semanas y entre días, y siempre obtendrás ese resultado.
(c)
Observa que en la imagen, a la derecha de la
hoja de calendario, figuran resultados que son todos -7. Haz tú algo similar
usando una hoja de cálculo.
Elige un rectángulo, y en una celda de la derecha escribe la diferencia de productos que estamos estudiando
(en el lenguaje de las hojas de cálculo. Una fórmula parecida a =B4*C8-C4*B8), y obtendrás un número negativo y
múltiplo de 7. Copia y pega esa fórmula en otras celdas y siempre obtendrás lo
mismo.
(d)
¿Qué ocurriría si usáramos sumas de diagonales
en lugar de productos? Esto es mucho más fácil…pero debes demostrarlo también.
(e) Imagina que en un país las
semanas fueran de cinco días cada una. ¿Qué ocurriría entonces con esta cuestión
que estamos estudiando?
(g) Investiga qué ocurre si al
usar, en lugar de las diferencias de productos como =B4*C8-C4*B8 estudiáramos
las diferencias de sumas de cuadrados: =B4^2+C8^2-C4^2-B8^2. Pues resulta que
ahora todas las diferencias son positivas, y siguen siendo múltiplos de 7.
Intenta comprobarlo con la Hoja de Cálculo y después demostrarlo mediante el
álgebra. Llama X a la fecha más pequeña.
(h) Prueba otros cálculos
en diagonal además de productos y sumas de cuadrados. Investiga por si ves algo
interesante.
Cuadrados de bolas
Forma un cuadrado con bolas, situándolas en filas y
columnas, las que quieras. Después elimina 10 bolas e intenta
reorganizar el resto hasta formar otro cuadrado más pequeño, y
verás que resulta imposible, cualquiera que sea el lado del
cuadrado que has formado.
Prueba entonces a quitar
sólo 6 bolas, y observarás que tampoco puedes formar un cuadrado
con las restantes.
Con
otros números sí se puede, dependiendo del lado del cuadrado. Por
ejemplo, se pueden quitar 7 bolas a un cuadrado de lado 4, y 8
bolas a otro de lado 3.
¿Qué
tienen de particular el 6 y el 10 para que ocurra esto?
Descubre más números con un
comportamiento similar, o encuentra una propiedad que cumplan
todos.
También puedes
investigar con una hoja de cálculo, en la que se pueden comparar
todos los cuadrados que desees entre sí, sin que nunca aparezca el
6, el 10, y otros que no descubrimos.
Cuadrados en progresión aritmética (I)
No es difícil encontrar ternas de cuadrados perfectos que estén en
progresión aritmética, tales como 1, 25 y 49, o 4, 100 y 196.
¿Cómo podríamos encontrar más ternas con una hoja de cálculo? Se
podría organizar una tabla de doble entrada con los cuadrados
perfectos, y después someter a su media aritmética a una condición
¿Cuál?
En la imagen puedes ver el resultado de una búsqueda similar, en
la que se han marcado con un 1 los cuadrados perfectos
pertenecientes a una terna como la propuesta. Si te animas a
construir un buscador semejante podrás encontrar muchas más
ternas. Ponte a prueba: ¿Con qué otros dos cuadrados forma
progresión aritmética el número 10404, cuadrado de 102? Si lo
encuentras, nos lo puedes comunicar en forma de comentario.
Para concretar las ternas pedidas hemos recurrido a una
exploración sistemática. Es una forma válida de trabajar en
Matemáticas (así se encuentran los números primos), pero que
alguien puede pensar que es algo perezosa. Podríamos aportar un
análisis algo más profundo, pero eso será en una próxima
entrada.
Cuadrados en progresión aritmética (II)
Tal como prometimos, intentaremos un análisis algo
más profundo sobre el tema de encontrar ternas de cuadrados perfectos que
estén en progresión aritmética, tales como 1, 25 y 49, o 4, 100 y 196.
Esto nos da un procedimiento de generación de ternas de cuadrados: Elegimos
cualquier entero p y buscamos un número par h cuyo cuadrado sea divisible
entre p, y mediante la fórmula (1) calculamos n
Ejemplo: p=5, h=10, n=100/10 + 10 + 5 = 25; (n+h)=35: (n-k)=25-10-5*2=5.
Por tanto, los cuadrados en progresión aritmética buscados son: 25, 625 y
1225.
En la imagen inicial puedes observar una tabla
que genera ternas de este tipo de forma sistemática
Sistema de numeración binaria
Idea para el
aula
El sistema de numeración en base
2 puede tener un aprendizaje totalmente distinto que el del resto de sistemas en
otras bases. Su esencia es la de intentar formar un número a partir de los
sumandos 1, 2, 4, 8, 16,… tomados sin repetir. Por ello, si se presenta al
alumnado un catálogo de estos números, representados como conjuntos o
“montones”, basta ir eligiéndolos uno a uno para formar el número deseado.
Así, para formar el número 81,
se van sumando los números 64, 32, 16, etc. añadiendo o quitando cada uno de
ellos hasta llegar a la solución 81 = 64 + 16 + 1. La parte más difícil es
interpretar después que esta suma da lugar a la representación binaria 1010001.
Para ayudar en ese paso hemos creado una hoja de cálculo que visualiza tanto la
agregación de los “montones” como la representación binaria a la que dan lugar.
No se dan aquí indicaciones de
cómo usar esta hoja, pues su simplicidad permite varios itinerarios distintos en
el aprendizaje y la elección de la metodología más adecuada a juicio de cada
docente.
Abre la hoja
binario2.ods
Si lo descargas con Microsoft
Internet Explorer, le añadirá la extensión .zip, pero desde OpenOffice.org Calc
se abre sin problemas. Con Mozilla Firefox o Google Chrome no se da ese
problema.
Al abrirla se nos consulta sobre
la activación de macros. Se puede aceptar con confianza, porque sólo contiene un
pequeño código para el funcionamiento de un botón.
Deconstruir y construir números enteros
Idea para el aula
Tomamos a palabra deconstruir de nuestro admirado cocinero Ferrán Adriá. Al
igual que él descompone un plato en sus constituyentes y lo vuelve a montar de
otra forma, nosotros lo haremos con números. La idea es descomponer un número
entero de alguna forma, usando varias operaciones, y después volverlo a
construir de otra manera totalmente distinta con los mismos ingredientes.
Lo vemos con el año 2010
La idea es usar distintas técnicas en cada paso: separar cifras, buscar factores
primos, descomponer en cuadrados, hallar promedios, usar las cuatro operaciones
básicas, etc.
Para un mismo número se pueden establecer competiciones en el aula, para ver qué
esquema de deconstrucción es más elegante, o más complejo, o con operaciones muy
distintas entre sí. Puede ser un entretenimiento muy formativo, pero se deberá
adaptar a la edad de alumnado y a sus conocimientos.
Ideas para webquest
¿En qué terminan los números triangulares?
“Los números triangulares, expresados en base decimal, no pueden terminar en
2, 4, 7 ó 9”
La metodología de las webquest se adapta muy bien al uso de las hojas de
cálculo y a una buena atención a la diversidad. La afirmación anterior
constituye un punto de partida que admite la organización de una webquest
con distintos itinerarios de aprendizaje según los niveles del alumnado.
Se puede comenzar con la frase de
arriba, y organizar una webquest para entender bien su significado y los
fundamentos de esa afirmación. Incluimos a continuación algunos pasos que se
podrían seguir:
(a) Definición de número triangular
Se puede buscar en páginas fiables, tales como
Wikipedia o
la misma
Hojamat del autor de esta entrada.
(a1) Para el alumnado más aventajado, se sugerirá alguna búsqueda de
carácter histórico sobre estos números.
(a2) Los estudiantes con dificultades pueden copiar imágenes de números
triangulares y pegarlas en un documento.
(b) Fórmula de los números triangulares
Lo ideal sería que se pudiera deducir en el
aula esta fórmua mediante inducción y discusión en grupos con la ayuda
del profesorado. Así lo ha conseguido el autor en varias ocasiones, Si
no, en las mismas páginas se puede encontrar dicha fórmula.
Una vez conseguida la fórmula T(n)=n(n+1)/2, se construye una tabla de
números triangulares con una hoja de cálculo.
(b1) Este paso admite una rama de profundización consistente en buscar
en la red propiedades de los números triangulares y experimentarlas
con la misma hoja de cálculo. También se puede intentar generarlos por
recurrencia: T(n+1) = T(n)+n+1
(b2) Una rama de consolidación del aprendizaje consistiría en aplicar
esa fórmula sin el uso del ordenador y reproducir en papel las
operaciones que se han efectuado en la hoja de cálculo.
(c) Terminación de los números triangulares
Ya se está en condiciones de comprobar que
ningún número triangular termina en 2, 4, 7 ó 9, y, lo más importante,
intentar justificarlo mediante la fórmula o razonamiento. Mediante la
fórmula T(n)=n(n+1)/2 se puede discutir en qué cifra puede terminar n,
después n+1, su producto y, por último, la mitad del mismo. Una tabla
de hoja de cálculo podría ser muy útil.
(c1) Una actividad de perfeccionamiento consistiría en usar la
propiedad de que “si tomo ocho veces un número triangular y después
sumo 1, resulta un cuadrado”. Se estudian las terminaciones de los
cuadrados impares, se les quita una unidad y se discute su cociente
entre 8.
(c2) Para el alumnado que necesite consolidar lo aprendido, se puede
organizar el cálculo de números triangulares grandes para comprobar
sus terminaciones.
(d) Presentación de resultados
Todo el trabajo realizado se expone al
resto del aula mediante documentos, presentaciones o puestas en común.
Si se dispone de una web de centro, se incluye en ella todo el
material generado en la webquest.
Con estas ideas, adaptándolas al nivel y
características de vuestros estudiantes, podéis diseñar una o dos
sesiones de trabajo que pueden resultar interesantes.
-
Un cuadrado conocido a medias
Ideas para el aula
Proponemos una búsqueda ordenada a partir de una cuestión similar a
la siguiente:
Encuentra un número entero positivo de
tres o cuatro cifras sabiendo que su cuadrado comienza con las
cifras 82541…
La idea es resolverlo con calculadora u hoja de cálculo, con lo que
la primera reacción, además de una búsqueda bastante larga, es
obtener la raíz cuadrada de lo que tenemos, y comenzar con las
cifras que nos resulten: raíz(82541)=287.. Pero ¿qué hacemos ahora?
¿irle añadiendo cifras e ir probando? ¿considerar los
decimales?...Puede resultar bien, y al final de diez intentos
conseguiríamos la solución, 2873, pero es que faltaban dos cifras, y
por eso fue fácil. ¿Y si hubieran faltado tres?
El interés del problema, para un alumnado de Enseñanza Secundaria,
es que al ignorar a priori cuántas cifras faltan, no sólo debe
pensar en la raíz del número dado, sino también en la raíz del
número que queda al eliminar una cifra. Lo vemos con este ejemplo:
¿Qué número tiene un cuadrado que
comienza por 824… sabiendo que faltan por escribir una, dos o tres
cifras?
Probamos el procedimiento anterior: Raíz(824)=28,7
Si faltaran dos cifras, deberíamos probar con números cercanos a
285, 286, 287,…y ninguno de sus cuadrados comienza con 824.
Probamos la hipótesis de que falte una cifra, con lo que deberíamos
basarnos en Raíz(82)=9,05, y obtenemos otro fracaso, pues desde 90 a
100 ningún número produce un cuadrado que comience con 824.
Por último, probamos con tres cifras más. En teoría deberíamos
probar desde 2850 a 2880, por ejemplo, y con paciencia llegaríamos a
2872^2=8248384
Desarrollo en el aula
¿Qué se podría lograr en el aula con este ejercicio? Destacamos
algunos aprendizajes y estrategias que se podrían descubrir:
Posibles objetivos
- Darse cuenta de que la raíz cuadrada
actúa sobre pares de cifras
- Descubrir búsquedas binarias cuando
las cosas se ponen difíciles (caso de tres cifras)
- Aprovechar los decimales que nos dan
las calculadoras (aquí no lo hemos hecho)
- Saber cambiar de estrategia a tiempo.
Posible desarrollo
Se lee en común la cuestión propuesta por el procedimiento que se
juzgue más adecuado.
No se debe nombrar la raíz cuadrada en un principio, salvo que
transcurran los minutos y no se logre ningún avance. Se plantea la
cuestión, explicando las dudas que surjan y se comienza el trabajo
de búsqueda. Es conveniente tener preparados varios ejemplos más con
distinto número de cifras para intentar conseguir que se resuelvan
varios en una misma sesión.
