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Estrellas y congruencias

Antonio Roldán Martínez 2005


Polígonos estrellados

Las operaciones con restos tienen mucho que ver con otras cuestiones, por ejemplo con los polígonos estrellados. Sigue las instrucciones para verlo.

Abre la hoja de cálculo que estudia los polígonos estrellados

estrellados.xls
estrellados.ods

Comienza por familiarizarte con él

Sólo debes concretar el número de lados (módulo) que tendrá tu polígono y el salto que habrá entre un vértice y otro (salto).

¿Qué módulo y salto tendría el siguiente polígono? Ve probando hasta acertar.

 

Experimentamos con polígonos estrellados

Concreta el módulo en 9 y el salto en 1.Observa que obtienes un eneágono

Escribe como salto el 6 ¿Qué obtienes? Escríbelo aquí: _______________________

Observa la columna de saltos: ser repiten los números 0,6,3,0,6,3...

Como cada vez que sumas 6, los resultados sólo pueden ser 6,3 y 0, se ha formado un triángulo.

Prueba ahora con todos los números del 1 al 8:

Rellena esta tabla con los números por donde pasa el polígono que se dibuja y escribe un comentario breve detrás. Ya tienes rellena la fila del 6.

Núm.

Saltos

 Comentarios
1                  
2                  
3                  
4                  
5                  
6 6 3 0 6 3 0 6 3 Se forma un triángulo normal
7                  
8                  

¿Qué números consiguen que se cierre un polígono normal (que no tenga forma de estrella)? ________________________________

¿Con cuáles de ellos se consigue pasar por todos los vértices posibles? ______________________________

Por último, ¿qué números forman un polígono estrellado? _______________________________________

Todos los números del 1 al 8 deberás incluirlos en alguna clase.

Hay parejas de números que forman la misma figura, aunque sea un poco girada. ¿Sabrías escribir todas las parejas? Por ejemplo, el 4 y el 5 forman el mismo polígono estrellado. Escribe las demás: ______________________________


Generadores de los polígonos estrellados

Observa bien:

Los números 3 y 6 forman un _____________, el 1 y 8 forman un ________________________ y los demás, 2, 4,5 y 7 forman un _______________________

Ahora debes intentar ver por qué unos números forman unas figuras y otros forman otras.

Antes de responder, si no lo tienes claro, quizás te convenga ver otro ejemplo.
Elige módulo 10 y repite el trabajo

Núm.  Saltos  Comentarios
1                  
2                  
3                  
4                  
5                  
6                  
7                  
8                  
9                  

Ahora hay números que forman un pentágono normal, que son _________

Otros forman un pentágono estrellado, el ____ y el _____

Otros dos forman un decágono normal, que son ____________

¿Se forma algún decágono estrellado?

Ahora deberías decidirte:

Para cualquier módulo, ¿Qué números no consiguen pasar por todos los vértices, sino que cierran un polígono con menos número de lados? (Es algo relacionado con divisores)
_______________________________________________________________

¿Cómo son los números que dibujan un polígono (estrellado o no) que pase por todos los vértices?
__________________________________________________

De esos, ¿cuáles no producen estrellados?

 

Resume:

Con módulo 9 se producen _______ polígonos estrellados distintos, usando saltos de ___________ vértices

Con módulo 10 se producen _______ polígonos estrellados distintos, usando saltos de ___________ vértices

Prueba ahora, experimentando antes, a rellenar estas afirmaciones:

Con módulo 6 se producen _______ polígonos estrellados distintos, usando saltos de ___________ vértices

Con módulo 7 se producen _______ polígonos estrellados distintos, usando saltos de ___________ vértices


Indicador de Euler

A cada número natural n le podemos asignar un número, llamado indicador de Euler y representado por f(n) y se halla contando todos los números más pequeños que n y que no tienen divisores comunes con él (es decir, son primos con él)

¿Tendrá algo que ver ese indicador con los polígonos estrellados?. Reflexiona siguiendo estos pasos:

El indicador de 9 es 6, porque los números 1, 2, 4, 5, 7 y 8 no son divisibles por 3, que es el único divisor primo de 9.

Por otra parte has visto que con módulo 9 se producen 2 polígonos estrellados diferentes (en realidad cuatro (los formados por 2, 4, 5 y 7, pero son iguales dos a dos)

El indicador de 7 también es 6 (¿por qué?) y también tiene 2 polígonos estrellados diferentes.

¿Qué relación habrá?

Intenta descubrirla rellenando antes este tabla

Número n Indicador f(n) Número de polígonos estrellados
5    
6    
7 6 2
8    
9 6 2
10    
11    
12    

Ahora la pregunta definitiva

¿Sabrías encontrar una fórmula que aplicada al indicador f(n) nos diera el número de polígonos estrellados de n vértices?

Reflexiona y pide ayuda si la necesitas