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Calculadora modular

Propuesta de trabajo

Muchos cálculos de nuestra vida diaria se efectúan a base de congruencias.
Te recordamos a continuación algunos módulos importantes que usamos con frecuencia.

Días de la semana

Módulo 7
Debemos representar, por ejemplo, el lunes como 1, martes como 2, etc.

Día del mes

Módulos 28,29, 30 ó 31

Hora del día

Módulo 12 o 24, según la forma de expresarla

Minutos señalados por un reloj

Módulo 60
Corresponde a la aguja mayor

Días transcurridos en un año

Módulo 365 o 366

Periodo entre dos años bisiestos

Módulo 4
Sirve también para Olimpiadas o Campeonatos Mundiales de Fútbol

Elección de una persona en un corro

Módulo igual al número de personas
Tiene lugar cuando se elige a alguien después de una cuenta: "Al que le toque el número 20"

Giros de un polígono regular alrededor de su centro

Módulo igual al número de lados
También es útil para giros de ruletas o instrumentos similares

Dibujos de polígonos estrellados

Módulo igual al número de vértices del polígono

Sobre esos ejemplos, y con la ayuda de la calculadora modular, resuelve estos ejercicios y propuestas:

Abre la Calculadora modular en Excel o en LibreOffice

Un ejercicio resuelto:

Hoy estamos a viernes. ¿En qué día de la semana viviremos dentro de 1500 días?

Representamos el viernes como el número 5 (desde el lunes. Podía ser otro número)

• Concretamos el módulo en 7 (días de la semana)
• Escribimos como dato primero el 5 (viernes) y como dato segundo 1500 días que han de pasar.
• Observa el resultado de la operación de sumar
• Obtenemos un resultado de 0, es decir, domingo

¿En qué se ha convertido el número 1500? ¿Qué significa eso?

Un espeleólogo desea estar dentro de una cueva, para un experimento, 250 horas. Entra en ella un martes a las 5 de la tarde. ¿Qué día de la semana y a qué hora saldrá?

Resuelve, en primer lugar, la hora de salida. Piensa en el módulo que debes usar. Un dato es claro: 250. ¿Cuál será el otro y qué operación nos conviene? (Solución: A las 3 de la madrugada)

Para saber el día de la semana no lo tienes muy difícil, pero explica cómo usarías la calculadora. Observa los dos números que rodean al 250: Significan que en 250 horas hay 10 días y sobran otros 10. Si ahora pasas a días y semanas...La solución es sábado.

Complícalo: ¿y si fueran 5.000 horas? (Solución: A la una de la madrugada de un lunes) Ve con cuidado, que hay trampas. Observa que en 5000 horas caben, según la calculadora, 208 días y sobran 8 horas. Pasas a módulo 7 y te sale la solución.

¿En qué cifra termina la potencia 7²³⁴?

Elige como módulo 10. Una potencia tan grande no podrás usarla en esta página, pero puedes dar un rodeo: Halla en qué cifra terminan 7¹, 7², 7³, etc. ¿Se te ocurre algo? ¿Estaría relacionado con el módulo 4?

Solución: Termina en 9

¿Y 7¹⁰⁰⁰?

Solución: Terminaría en 1

Un mecanismo efectúa una operación de revisión cada 5 horas exactas. Si acaba de efectuar una a las dos de la tarde, ¿a qué hora realizará la revisión número 75 a partir de ahora?

Solución: A las cinco de la mañana.

¿Cuántas revisiones son necesarias para que vuelva a operar otra vez a las dos de la tarde por primera vez?

Solución: 24 revisiones.

Una página de Internet se renueva automáticamente cada 10 días. Si la última vez lo hizo en lunes, ¿cuántos días pasarán hasta que lo haga en sábado? (Solución 40 días. Asigna un número al lunes y ve sumando 10, 20, 30,...)

 Calcula la última cifra de 13¹⁶²

Concreta el valor del módulo en 10, porque se trata de ver la última cifra. Concreta como primer número el 13 y como segundo también el 13.

En ¿Acumulo operaciones? escribe NO

Lee el resultado de multiplicar 13 por 13, que es 9. Luego 13² termina en 9.

Ahora escribe un SI en ¿Acumulo operaciones?

Ve pulsando despacio F9 e irán apareciendo las terminaciones de 7³, 7⁴, etc.

Deberás obtener la secuencia 9,7,1,3,9,7,1,3...

Como ves, son periódicos con periodo 4. Con ellos tendríamos que llegar a 162, pero eso es muy pesado. Observa el truco:

• Concreta ahora el módulo en 4, que es el periodo.
• Escribe como primer número 162
• Lee a su derecha en qué se convierte respecto al módulo 4 y verás que es equivalente a 2. De esa forma hemos cambiado la potencia 13¹⁶² por 13² que es su equivalente y termina en 9. Luego la solución es 9.