{"text_format":"1","workbook":"xlsx","n_sheets":5,"sheets":["Presentación","Cálculo por inspección","Grupo de inversibles","Propiedad multiplicativa","Cálculo de la función"],"not_rendered":{"charts":0,"images":0,"macros":1,"external_links":1,"defined_names":0,"comments":0,"pivot_tables":0},"unopened":[],"bounds":{"document_bytes":16777216,"sheet_cells":100000,"rows_first":2000,"rows_last":500,"rows_between":2000,"halvings":0,"cell_chars":16384,"cell_head_chars":4096},"cells_cut":0,"cells_raw":0,"read":"whole","date_system":"1900"}

{"sheet":"Presentación","index":0,"n_rows":16,"n_cols":6,"rows_kept":16,"cut":false,"hidden":false,"merged":[[1,2,1,8],[3,3,3,7]]}
["A. Roldán 2016"]
[null,null,"Apuntes interactivos con hoja de cálculo"]
[]
[null,null,null,"La indicatriz de Euler"]
[]
[null,null,null,null,"Materia","Teoría de Números"]
[]
[null,null,null,null,"Nivel","Universitario"]
[]
[null,null,"Estos apuntes sólo pretenden ayudar a comprender conceptos y procesos a través de esquemas."]
[null,null,"No sustituyen el aprendizaje teórico, que se debe emprender con otras herramientas"]
[]
[null,null,"Contenido",null,"Cálculo por inspección"]
[null,null,null,null,"Grupo de inversibles"]
[null,null,null,null,"Propiedad multiplicativa"]
[null,null,null,null,"Cálculo de la función"]

{"sheet":"Cálculo por inspección","index":1,"n_rows":61,"n_cols":7,"rows_kept":61,"cut":false,"hidden":false,"merged":[[20,4,20,6],[1,2,3,7],[6,1,6,8],[7,1,7,8],[11,1,11,8],[14,1,14,8],[16,1,16,2]]}
[]
[null,null,"La indicatriz de Euler"]
[]
[]
[]
[]
[null,"La indicatriz de Euler de un número N, o función j(N), cuenta los números"]
[null,"menores que N y coprimos con él (se incluye el 1)"]
[null,"En lenguaje de conjuntos, si MCD representa el máximo común divisor, sería:"]
[]
[]
[]
[]
[null,"Cálculo por inspección de una tabla"]
[null,"Escribe un número natural (menor que 40)"]
[]
[null,"Número natural",null,36,null,"Indicatriz",{"$f":"COUNTIF(C22:C61,1)","v":12}]
[]
[null,"Números menores que él"]
[]
[null,"Menores","M.C.D",null,"Observa esta tabla"]
[null,1,{"$f":"IF(B22<=D$17,GCD(B22,D$17),\" \")","v":1}]
[null,{"$f":"IF(B22<D$17,B22+1,\" \")","v":2},{"$f":"IF(B23<=D$17,GCD(B23,D$17),\" \")","v":2},null,"En la columna \"Menores\" figuran los posibles menores que el número"]
[null,{"$f":"IF(B23<D$17,B23+1,\" \")","v":3},3,null,"En la columna M.C.D figura el máximo común divisor de N con cada uno de los menores"]
[null,4,4,null,"Serán coprimos con N aquellos que presenten el M.C.D igual a la unidad."]
[null,5,1]
[null,6,6,null,"La indicatriz j(N) cuenta esos menores que son coprimos con N"]
[null,7,1]
[null,8,4,null,"En la celda G17 hemos usado la función CONTAR.SI para este fin."]
[null,9,9,null,"Puedes contar los unos mentalmente."]
[null,10,2]
[null,11,1]
[null,12,12]
[null,13,1]
[null,14,2]
[null,15,3]
[null,16,4]
[null,17,1]
[null,18,18]
[null,19,1]
[null,20,4]
[null,21,3]
[null,22,2]
[null,23,1]
[null,24,12]
[null,25,1]
[null,26,2]
[null,27,9]
[null,28,4]
[null,29,1]
[null,30,6]
[null,31,1]
[null,32,4]
[null,33,3]
[null,34,2]
[null,35,1]
[null,36,36]
[null," "," "]
[null," "," "]
[null," "," "]
[null," "," "]

{"sheet":"Grupo de inversibles","index":2,"n_rows":42,"n_cols":22,"rows_kept":42,"cut":false,"hidden":false,"merged":[[15,10,15,11],[15,17,15,18],[1,2,3,12]]}
[]
[null,null,"Grupo de inversibles"]
[]
[]
[]
[]
[null,"Los números que cuenta la indicatriz de Euler forman un grupo, ya que el producto de dos"]
[null,"de ellos y también el inverso (que siempre existe) son coprimos con N"]
[]
[null,"El cardinal de ese grupo es precisamente j(N)"]
[]
[]
[null,null,"Procederemos a visualizar ese grupo. Hemos preparado una tabla de 20 filas y 20 columnas"]
[null,null,"Dentro de ella sólo aparecerán los elementos que forman el grupo, producto de los de fila y columna."]
[]
[null,null,"Para verlo escribe un número del 2 al 20",null,null,null,null,null,null,null,18,null,null,null,"Indicatriz",null,null,{"$f":"eul(K16)","v":6}]
[null,null,"Acompañamos cada número de su MCD con N. Observa que todas las filas y columnas"]
[null,null,"contienen los mismos elementos, en cada una ordenados de forma distinta. Es el grupo de inversibles Z*m."]
[null,null,"Su cardinal vemos que es la indicatriz."]
[]
[null,"MCD",{"$f":"IF(C22<=$K$16,GCD(C22,$K$16),\" \")","v":1},{"$f":"IF(D22<=$K$16,GCD(D22,$K$16),\" \")","v":2},3,2,1,6,1,2,9,2,1,6,1,2,3,2,1,18," "," "]
["MCD",null,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20]
[{"$f":"IF(B23<=$K$16,GCD(B23,$K$16),\" \")","v":1},1,{"$f":"IF(AND(C$21=1,$A23=1),MOD($B23*C$22,$K$16),\" \")","v":1}," "," "," ",5," ",7," "," "," ",{"$f":"IF(AND(M$21=1,$A23=1),MOD($B23*M$22,$K$16),\" \")","v":11}," ",13," "," "," ",17," "," "," "]
[{"$f":"IF(B24<=$K$16,GCD(B24,$K$16),\" \")","v":2},2," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "]
[3,3," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "]
[2,4," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "]
[1,5,5," "," "," ",7," ",17," "," "," ",1," ",11," "," "," ",13," "," "," "]
[6,6," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "]
[1,7,7," "," "," ",17," ",13," "," "," ",5," ",1," "," "," ",11," "," "," "]
[2,8," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "]
[9,9," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "]
[2,10," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "]
[1,11,{"$f":"IF(AND(C$21=1,$A33=1),MOD($B33*C$22,$K$16),\" \")","v":11}," "," "," ",1," ",5," "," "," ",{"$f":"IF(AND(M$21=1,$A33=1),MOD($B33*M$22,$K$16),\" \")","v":13}," ",17," "," "," ",7," "," "," "]
[6,12," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "]
[1,13,13," "," "," ",11," ",1," "," "," ",17," ",7," "," "," ",5," "," "," "]
[2,14," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "]
[3,15," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "]
[2,16," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "]
[1,17,17," "," "," ",13," ",11," "," "," ",7," ",5," "," "," ",1," "," "," "]
[18,18," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "]
[" ",19," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "]
[" ",20," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "," "]

{"sheet":"Propiedad multiplicativa","index":3,"n_rows":23,"n_cols":18,"rows_kept":23,"cut":false,"hidden":false,"merged":[[1,2,3,12],[10,10,10,11],[11,10,11,11]]}
[]
[null,null,"Propiedad multiplicativa"]
[]
[]
[]
[null,null,null,"Si dos números naturales son primos entre sí,"]
[null,null,null,"la indicatriz de su producto es igual al producto de sus indicatrices:"]
[]
[]
[]
[null,null,null,"Escribe dos números primos entre sí",null,null,null,null,null,"M",4]
[null,null,null,null,null,null,null,null,null,"N",7,null,null,{"$f":"IF(GCD(K11,K12)=1,\"Son primos entre sí\",\"Par no válido\")","v":"Son primos entre sí"}]
[]
[]
[null,null,null,"Ahora contaremos los números menores primos con ellos. Pulsa el botón."]
[null,null,null,"El número de coprimos de la fila del producto coincide con el producto de los de la primera con la segunda fila."]
[]
[null,null,"M","PHI(M)",null,{"$f":"eul(K11)","v":2},1,3]
[null,null,"N","PHI(N)",null,{"$f":"eul(K12)","v":6},1,2,3,4,5,6]
[null,null,"M*N","PHI(M*N)",null,{"$f":"eul(K11*K12)","v":12},1,3,5,9,11,13,15,17,19,23,25,27]
[]
[null,null,null,"PHI(M*N) coincide con PHI(M)*PHI(N)"]
[null,null,null,"Compruébalo."]

{"sheet":"Cálculo de la función","index":4,"n_rows":27,"n_cols":10,"rows_kept":27,"cut":false,"hidden":false,"merged":[[1,2,3,6]]}
[]
[null,null,"Cálculo de la función"]
[]
[]
[]
[null,"Hemos implementado la función EUL, que te devuelve la indicatriz de Euler de un número"]
[null,"Lo puedes comprobar en la siguiente línea:"]
[]
[null,"Número",1000,null,"Indicatriz",{"$f":"eul(C9)","v":400}]
[]
[null,"Esta función se basa en lo siguiente (lo tienes en cualquier manual sobre el tema):"]
[]
[null,"Si p es primo, su indicatriz es p-1"]
[null,"Si N equivale a la potencia de un primo, pk, j(N)=(p-1)pk-1"]
[null,"Por la propiedad multiplicativa, la indicatriz de un número compuesto será el producto de esas fórmulas aplicables a primos."]
[null,"En la práctica, ese producto se expresa así:"]
[]
[]
[]
[null,null,null,null,null,null,null,null,null,"Pulsa este botón para ver el desarrollo"]
[null,"Lo comprobamos descomponiendo el número en factores primos. Pulsa el botón para obtener los factores."]
[]
[null,1000,"Factores primos  P",null,2,5]
[null,null,"Sus exponentes",null,3,3]
[null,"Indicatriz","Valor de P-1",null,1,4]
[null,{"$f":"B23*PRODUCT(E25:AE25)/PRODUCT(E23:AJ23)","v":400}]
[null,null,null,"Dejamos como ejercicio analizar la fórmula implementada en la celda B26, y descubrir por qué es válida."]