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Aprender y divertirse con
la Hoja de Cálculo Página personal de Antonio Roldán Martínez |
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Buscador de números naturales
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Buscador de números naturales
Esta hoja de cálculo es un instrumento muy completo para buscar números naturales que cumplan ciertas condiciones.
Es útil para verificación de conjeturas, recuentos, propiedades, etc.
Pulsa sobre uno de estos enlaces para abrirlo
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buscador.xls |
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buscador.ods |
Aspectos generales
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El programa permite la obtención de un listado de números, situado en la primera hoja a la izquierda, que cumplen unas determinadas condiciones que se determinan también en la primera hoja. Al usar macros, no es conveniente insertar o eliminar filas y columnas, porque afectarían al funcionamiento general de la hoja. El listado se compone siempre de números naturales, de ahí el nombre de la hoja. Sólo aparecerán números no enteros en las evaluaciones de ciertas funciones. En el resto, tanto datos como resultados serán números enteros.
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Funcionamiento
Para obtener un listado de números deberemos efectuar las siguientes operaciones:
A) Puede ser conveniente usar el botón de Borrar condiciones para eliminar resultados y condiciones anteriores, aunque no es imprescindible, pues se puede editar sobre lo que ya haya.
B) Una vez borrado lo anterior debemos proceder a concretar los límites de la búsqueda de números, escribiendo el límite inferior y el superior. Por ejemplo, si deseamos encontrar todos los números primos de tres cifras, estableceremos el inicio en 100 y el final en 999.
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Escribiremos los datos en las celdas correspondientes |
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C) El siguiente paso será el de concretar las condiciones. Esta parte del funcionamiento la explicaremos con más detalle más adelante. Por ahora será conveniente distinguir entre condiciones elementales, como la de ser primo, divisor, múltiplo, etc., que se concretan con un SI, NO o espacio en blanco, y las más avanzadas, que se desarrollarán en otra sección de este documento.
Por ejemplo, si deseamos un listado de números primos de tres cifras, bastará con escribir un SI (en mayúsculas y sin tilde) en la celda correspondiente (si deseáramos números compuestos escribiríamos un NO).
D) Una vez concretadas las condiciones pulsamos sobre el botón Buscar naturales para obtener el resultado deseado.
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Nos resultarán 143 primos, que puedes leer bajando a las
páginas siguientes. También puedes imprimirlos. En la parte derecha obtendrás el número de soluciones a la búsqueda que ha resultado y su suma. Por ahora no complicaremos más las búsquedas. |
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Tipos de condiciones
Elementales
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Estas condiciones se reducen a un SI o un NO. Se pueden
activar varias condiciones, que actuarán todas ellas en la búsqueda mediante
la conectiva Y (conjunción). Así, en la configuración de la imagen de la izquierda, el Buscador limitaría el resultado a números pares que no fueran ni cuadrados ni triangulares. Resultarían 2, 8, 12, 14, 18, etc. |
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Estas otras requieren dos datos, el SI o NO de la última
columna, y el número del que deberán ser múltiplos o divisores los
resultados. Con la configuración ejemplo obtendríamos los números múltiplos de 5 y 7 que no fueran múltiplos de 2, es decir, los múltiplos impares de 35: 35, 105, 175,... |
La condición Termina en permite concretar en qué cifras termina la expresión decimal del número buscado.
Comprueba los dos ejemplos de arriba
Se pueden combinar las 15 condiciones anteriores de cualquier forma, pero recordando que actúan todas a la vez.
Fórmulas
A veces es interesante pedir que los números buscados cumplan alguna condición expresada algebraicamente, por ejemplo números que tienen la forma n2 - 1 siendo n natural.
En el Buscador (en la versión actual de 2007) sólo se pueden definir fórmulas lineales o cuadráticas. Deberemos marcar con un SI el tipo de fórmula y más abajo escribir los coeficientes
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En este ejemplo obtendríamos los números naturales que que tienen la forma n2 - 1 siendo n natural. En la actual versión no se pueden simultanear las condiciones lineal y cuadrática. Hay que elegir una. |
Funciones
Para las condiciones especiales que se explican a continuación, y para el Evaluador, son válidas las siguientes funciones:
Variable básica
La variable N representa siempre el número actual en la búsqueda.
Generales
Las funciones elementales contenidas en cualquier calculadora científica:
PI Se emplea sin paréntesis, por ejemplo 2*PI/3
COS
SEN
TAN Las tres funciones usan radianes
LN Logaritmo neperiano
LOG Logaritmo decimal
EXP Función exponencial, de base e
RAIZ Raíz cuadrada. Se escribe sin tilde
ATAN
ACOS
ASEN Funciones trigonométricas inversas
Especiales del Buscador
CIF Seguida de un número, representa una cifra del número actual N: CIF(1) las unidades, CIF(2) las decenas, etc.
SUMACIF Suma de las cifras del número actual. No usa paréntesis ni argumento
PRIMO Si su argumento es primo, devuelve un 1 y en caso contrario un 0. Se usa con cualquier argumento: PRIMO(2*N+1)
PAR Similar a la anterior, investiga si el argumento es par, con valores 1 y 0
CAPICUA Funciona como las anteriores, para decidir si un número es capicúa o no.
CUADRADO Similar a las anteriores
TRIANGULAR Similar a las anteriores
EULER Devuelve el Indicador de Euler
PRIMPROX Encuentra el primer primo mayor que el argumento. Por ejemplo: PRIMPROX(8)=11
PRIMHASTA Cuenta los primos menores o iguales que el argumento. PRIMHASTA(20)=8
NUMDIV Cuenta los divisores propios del argumento
SUMDIV Suma los divisores propios del argumento
MAYORDIV Encuentra el mayor divisor propio del número
NUMDIVPRIM Cuenta los divisores primos sin contar a él mismo. Así, en los números primos el resultado es cero.
Especiales
En el momento de redactar este documento están activos dos tipos de condiciones
Sumas especiales
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Las sumas admiten cuatro sumandos especiales, que se
identifican por las siguientes abreviaturas:
C= Sumando cuadrado T=Triangular
P=Primo y
N=a, que busca un sumando de valor
constante a. En el ejemplo de la izquierda se buscan números que se puedan descomponer en suma de dos cuadrados más el número 3. Nos resultarán 8=1+4+3; 11=4+4+3; 13=1+9+3; etc. |
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Declaraciones
En este apartado, que admitirá ampliaciones sucesivas, se escriben condiciones suplementarias, como PRIMO(2*N+1), CIF(2)=4, etc.
Los tipos de declaraciones son:
a) Del tipo PRIMO(EXPRESIÓN) , son funciones boleanas, que devuelven los valores 1 o 0, según sea verdadera o falsa. Se interpreta en sentido casi literal: PRIMO(N+2) significará que N+2 es primo. Intenta buscar primos gemelos activando en primer lugar la condición elemental de ser primo
y después declarar que N+2 es primo
De esta forma obtendrás la lista de números primos que son gemelos con N+2: 3 (con 5), 5 (y 7), 11 (y 13)...
En el apartado siguiente aprenderás a visualizar el segundo primo gemelo con el Evaluador
Para todas ellas el valor VERDADERO se representa mediante un número distinto de cero, y el FALSO como cero.
Esto permite multiplicar declaraciones, como por ejemplo PRIMO(N)*PRIMO(N+2), que representaría a los números primos gemelos, ya que el producto equivale a la conectiva AND.
De forma similar, la suma imita la conectiva OR y la resta con la unidad, a NOT. Por ejemplo, 1-PRIMO(N) representaría a los números compuestos.
Al igual que la declaración PRIMO(EXPRESIÓN) funcionan las siguientes
PAR(EXPRESIÓN), CUADRADO(EXPRESIÓN), CAPICUA(EXPRESIÓN) (sin tilde), TRIANGULAR(EXPRESIÓN)
como funciones boleanas, y también se pueden usar todas las demás de la lista precedente.
b) Igualdades: El segundo tipo de declaraciones tiene forma de igualdad: CIF(2)=4, SUMDIV=20, etc.
Históricas
Se incluirán en este apartado condiciones históricas que no tienen reflejo en las anteriores
En este momento está activa la condición de Sofie Germain de ser una cuarta potencia más 4
Evaluador
El evaluador aplica una función a los resultados obtenidos en la búsqueda y los escribe en la segunda columna. Si en el ejemplo de los primos gemelos se aplica la función N+2 en el Evaluador, se consigue verlos por parejas.
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El Evaluador permite usar las funciones elementales SEN, COS, LN, LOG, TAN, EXP, RAIZ, ATAN, ACOS, ASEN y PI. En particular, admite expresiones en N, como N+2, que visualizaría el segundo primo gemelo en una búsqueda.
En la versión actual se suman todos los valores de las funciones.
Propuestas que usan el Buscador
La mejor forma de aprender todo lo precedente es seguir paso a paso las propuestas de trabajo contenidas en esta página que usan el Buscador como herramienta:
Uso del Buscador de Naturales en la Enseñanza Media
Comprobaciones en Divisibilidad
