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"La Matemática es la reina de las ciencias y la aritmética es la reina de las matemáticas" - Carl Friedrich Gauss
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Aritmética |
Breve esquema teórico |
Nota: Sólo se incluyen conceptos que permiten una cierta experimentación lúdica. No es posible incluir aquí un tratado de Aritmética.
Índice
- Axiomas de Peano
- Operaciones con números naturales
- Orden en N
- Sistemas de numeración
- Principio de Inducción
- Potencias de exponente natural
Fundamentos
Existe un conjunto N compuesto por elementos llamados números naturales, relacionados entre sí por la relación "ser siguiente o sucesor " m= sg(n) que cumple estos cinco axiomas.
Estos axiomas cumplen la compatibilidad, independencia y completitud.
Operaciones con números naturales
A partir de los axiomas de Peano se define la suma de dos números naturales a+b mediante las definiciones a+1 = sg(a) y a+sg(b)=sg(a+b). A partir de esta definición se demuestra que es una operación interna con las propiedades
Asociativa: a+(b+c) = (a+b)+c
Conmutativa: a+b=b+a
Cancelativa: Si a+c = b+c, entonces a=b
Esta última propiedad permite definir la resta, como a-b=x si y solo si b+x=a. Esta operación no es cerrada, porque si a es menor que b, no se pueden restar.
La multiplicación de dos números naturales se define a partir de: a*1=a y a*sg(b)=a*b+a
Esta operación posee las propiedades
Asociativa: a*(b*c) = (a*b)*c
Conmutativa: a*b=b*a
Elemento neutro: a*1=1*a=a
Distributiva respecto a la suma: a*(b+c) = a*b + a*c
Cancelativa: Si a*c = b*c, entonces a=b
Estas propiedades dotan al conjunto N de la estructura algebraica de anillo conmutativo con unidad.
La propiedad cancelativa permite definir la división exacta como a/b = x si y solo si b*x=a. Esta operación tampoco es cerrada.
Se define también la división entera como la operación, para dos números naturales a y b, que encuentra un cociente q y un resto r<b tales que a=b*q+r. Se puede demostrar que esta operación siempre es posible.
Dados dos números naturales a y b, diremos que a es menor que b si existe otro número natural x tal que a+x=b
Igualmente, diremos que a es menor o igual que b si a es o bien menor o bien igual que b (en modo texto lo representamos como a<=b)
Esta relación es de orden, porque presenta las propiedades
Reflexiva: a<=a para cualquier a natural
Antisimétrica: Si a<=b y b<=a , entonces a=b
Transitiva: Si a<=b y b<=c, entonces a<=c
Este orden es total, porque dados dos números naturales a y b, se cumple siempre o que a<=b o que b<=a
El orden establecido por la relación <= posee la propiedad monótona respecto a la suma y el producto: Si a<=b, entonces a+c<=b+c y a*c<=b*c
Igualmente, el conjunto N está bien ordenado para la relación <=, porque todo subconjunto de N no vacío posee un elemento mínimo.
Los números naturales, por su infinitud, necesitan un sistema de representación a partir de un número finito de símbolos. Para eso se inventaron los sistemas de numeración, como el romano, el decimal, etc.
Un sistema de numeración basado en la posición relativa usa la llamada Base del sistema, que es el número de unidades de orden inferior necesarias para obtener una unidad de orden inmediato superior. Coincide con el número de símbolos necesarios para escribir cualquier número en ese sistema de numeración. De esta forma, existirán tantos sistemas de numeración como bases distintas sean posibles, es decir, infinitas. Los más populares son los de bases 10 (decimal), 2 (binario), 8 (octal) y 16 (hexagesimal).
Para poder usar los sistemas de numeración hay que admitir el número 0, como representante de un lugar vacío el la expresión de un número.
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Dispones de una calculadora en cualquier base |
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Los sistemas de numeración aditiva son aquellos en los que los valores de los símbolos se suman, sin que influya la posición relativa, como el sistema romano.
Principio de inducción completa
Método de demostración de propiedades referentes a números naturales consistente en:
Con esto quedará demostrado que es cierto para todo n natural.
Por ejemplo. Demuestra así que la suma de los n primeros números impares es igual a n2.
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Potencia de un número natural con exponente natural
Llamaremos potencia de exponente k de un número natural n, y la representaremos por nk, al producto n.n.n….n de k factores iguales a n.
Propiedades:
Sumas de potencias consecutivas
Σ n = n(n+1)/2
Σ n2 = n(n+1)(2n+1)/6
Σ n3 = n2(n+1)2/4
El resto de fórmulas son excesivamente largas.
Curiosidades
Un cuadrado mágico es una matriz cuadrada de números (normalmente consecutivos y a partir de 1) en la que las sumas por filas, columnas y diagonales son todas iguales. Esta suma, si los números son 1,2,...n, deberá ser igual a n(n2+1)/2
Es famoso el cuadro Lo-Chu, formado por los números 1 al 9 dispuestos en tres filas y tres columnas y cuyas sumas son siempre 15
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3
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7
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1
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6
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Este cuadrado mágico posee muchas propiedades curiosas. Algunas de ellas son:
42+92+22 = 82+12+62
42+32+82 = 22+72+62
4922+3572+8162 = 2942+7532+6182
4382+9512+2762 = 8342+1592+6722
También es clásico el cuadrado de 16 números llamado Melancolía, por haber aparecido en un cuadro del mismo título de Alberto Durero. Todas sus filas y columnas suman 34. Además, en la parte inferior contiene la fecha de su realización 1514. Este cuadrado, grabado en una placa de plata, se usaba para protegerse de enfermedades.
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16
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1
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Este cuadrado mágico también es hipermágico, porque sigue siendo mágico cambiando entre sí algunas filas o columnas.
También suman 34 sus cuatro vértices 16+13+4+1 y sus vecinos 5+8+9+12, 15+14+3+2. También los números centrales 10+11+6+7 y los "saltos de caballo" 5+2+12+15.
Existen 880 cuadrados mágicos de orden 4 y 275.305.224 de orden 5
Son números que se pueden disponer en forma de figura geométrica. Los más populares son:
Es un número figurado tal que las unidades del conjunto que representa se pueden situar ordenadamente en forma de polígono. Pueden ser triangulares, cuadrados, pentagonales, etc.
La expresión general de un número poligonal de
k lados y orden n es n((k-2)n-(k-4))/2
o lo que es equivalente n+n(n-1)(k-2)/2
Según Fermat, todo número natural se puede expresar como la suma de n números poligonales de n lados. Gauss lo demostró para los triangulares y Cauchy para todo tipo de polígonos.
Un número triangular es aquel cuyas unidades se pueden situar en forma de triángulo
Los primeros números triangulares son: 1, 3, 6, 10, 15, 21, …
En la figura se observa la generación de cada número triangular:
t1 = 1 = 1
t1 = 1+2 = 3
t1 = 1+2+3 = 6
t1 = 1+2+3+4 = 10
Todos siguen la fórmula T(n) = n(n+1)/2, con n=0, 1, 2, 3, …
Los números triangulares terminan en 0, 1, 3, 5, 6 u 8.
Otro resultado muy interesante es el de que la suma de los inversos de los números triangulares tiende a 2. Si quieres desarrollarlo basta que pienses que 1/3 = (2/2 - 2/3), 1/6 = (2/3 - 2/4) y así sucesivamente. Desarrolla la suma y verás anularse términos.
Comprueba lo siguiente: El número T(n) coincide con el número de soluciones positivas de la ecuación x+y+z=n+2.
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Un número natural a se llama cuadrado cuando existe otro número natural n tal que a=n2.
Los primeros números cuadrados son: 1, 4, 9, 16, 25, …
En la figura se observa la generación de cada número cuadrado:
t1 = 1 = 1
t1 = 1+3 = 4
t1 = 1+3+5 = 9
t1 = 1+3+5+7 = 16
Los números cuadrados terminan en 0, 1, 4, 5, 6 o 9
Todos siguen la fórmula n2, como es evidente.
Todo número cuadrado es suma de dos triangulares consecutivos. Compruébalo o intenta demostrarlo. También se forma un cuadrado con 8 números triangulares, sumándoles una unidad. Con un dibujo lo puedes lograr fácilmente.
Los números triangulares y cuadrados cumplen tres propiedades descubiertas por Gauss
a) Un número natural es suma de 3 cuadrados si y sólo si no
es de la forma 4a (8b-1)
b) Todo número natural es suma de a lo más tres cuadrados.
c) Todo número natural es suma de a lo más tres triangulares.
Números que son a la vez triangulares y cuadrados
Son los números 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, ...
Siguen una fórmula de recurrencia: Cn+1 = 34*Cn - Cn-1 +2
y también la fórmula directa:
Números pentagonales, hexagonales, heptagonales, etc.
Se definen de la misma forma que los cuadrados y los triangulares, como números que forman pentágonos, hexágonos, etc.
La fórmula que siguen los pentagonales 1, 5, 12, ... es n(3n-1)/2
Los hexagonales 1, 6, 14, siguen la fórmula n(4n-2)/2 = 2n2 - n
En general, de k lados la fórmula adecuada es (n*(2+(n-1)*(k-2))/2
Otros números figurados
Un número rectangular es aquel cuyas unidades se pueden ordenar en forma de rectángulo de lados mayores que uno. Es sinónimo de compuesto.
Lo llamaremos oblongo si es posible elegir sus dimensiones como números consecutivos, como 12 = 3*4, 42 = 6*7, etc.
Los primeros números oblongos son 2, 6, 12, 20, 30, 42, ...
La fórmula de los números oblongos es n(n+1) lo que nos hace ver que son dobles de los triangulares. También equivalen a la suma de los k primeros números pares.
Un número natural constituye un gnomon cuando se puede dibujar como una escuadra de brazos iguales. Es equivalente a un número impar. En efecto, basta observar la figura:
Todo número cuadrado es suma de gnomones.
Números triángulo-piramidales
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Representan pirámides formadas por números triangulares,
como las balas esféricas amontonadas en capas triangulares. Sus primeros
elementos son 1, 4, 10, 20, 35, 46... y la expresión de su término general n(n+1)(n+2)/6 |
Semejantes a estos son los cuadrado-piramidales, en los que cada capa es un número cuadrado. Es un apilamiento menos estable que el anterior, por lo que en la práctica es menos útil. Sus primeros términos son 1, 5, 14, 30, 55, ... y la expresión de su término general es
n(n+1)(2n+1)/6
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Los números
poligonales anteriores crecen a partir de un vértice, y no tienen centro.
Podíamos formarlos a partir de un punto (centro) rodeando después con
triángulos, cuadrados o pentágonos con número creciente de puntos. Así, la
imagen de la izquierda es un cuadrado centrado de orden 3 que equivale al
número 13. Si suprimimos el perímetro más lejano nos resultaría el cuadrado
centrado 5. De igual forma se pueden definir los triángulos o polígonos centrados. Así, los números 1, 4, 10, 19, 31,,, son triangulares centrados. 1, 5, 13, 25, 41... son cuadrados centrados y 1, 6, 16, 31, 51... pentagonales centrados
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Las fórmulas de generación de estos números son:
TCn = (3n2-3n+2)/2
CCn = 2n2-2n+1
PCn = (5n2-5n+2)/2
como puede verse en esta tabla generada con hoja de cálculo:
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Fórmulas para números poligonales
centrados |
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Triangulares | Cuadrados | Pentagonales |
| N | (3*n^2-3*n+2)/2 | 2*n^2-2*n+1 | (5*n^2-5*n+2)/2 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 5 | 6 |
| 3 | 10 | 13 | 16 |
| 4 | 19 | 25 | 31 |
| 5 | 31 | 41 | 51 |
| 6 | 46 | 61 | 76 |
| 7 | 64 | 85 | 106 |
| 8 | 85 | 113 | 141 |
Definiciones
Una terna de números enteros positivos se llama pitagórica si es solución de la ecuación x2 + y2 = z2
Llamaremos ternas pitagóricas primitivas x0, y0 y z0 a aquellas que no tienen divisores comunes. Por tanto, los tres números no pueden ser pares, luego alguno será impar. Los tres impares tampoco pueden ser, porque z sería suma de impares y por tanto par. Tampoco puede haber un sólo impar, porque la suma no tendría la paridad adecuada, luego z0 es impar y las otras dos, una par y otra impar.
En lo que sigue sólo nos referiremos a las ternas pitagóricas primitivas.
Fórmulas de generación
(1) Z = m2 + n2 ; Y = m2 – n2 ; X = 2mn con m y n primos entre sí y de distinta paridad, con m>n.
Son pitagóricas, porque (m2 + n2)2 = (m2 - n2)2 + 4m2n2
Son primitivas, porque todo divisor de m2 + n2 y m2 – n2 es distinto de 2 (son impares) y divide a su suma y diferencia, luego divide simultáneamente a m y a n, lo que es imposible por ser coprimos. Luego ambos son primos entre sí y también con 2mn.
El perímetro tendrá como fórmula 2m2 + 2mn, el semiperímetro m(m+n), el área mn(m2 - n2) y por tanto, el radio del incentro r = mn(m2 - n2)/(m(m+n)) = n(m-n)
Esta propiedad del radio nos lleva a la fórmula generadora (4)
(2) Z=(m2 + n2 )/2 ; Y=(m2 - n2 )/2 ; X=mn con m y n impares u coprimos y m>n
Esta es la primitiva fórmula de los pitagoricos.
(3) X = 2n+1 ; Y = 2n(n+1) ; Z = 2n(n+1)+1
En efecto: X2+Y2 = 4n2+4n+1+4n4+8n3+4n2
Z2= (2n2+2n+1)2 = 4n4+4n2+1+8n3+4n2+4n
Esta fórmula no genera todas las ternas primitivas. Sólo genera aquellas en las que el cateto mayor y la hipotenusa son números consecutivos.
(4) Y = 2pq+q2 ; X = 2pq+2p2 ; Z = 2pq+2p2+q2
En efecto, tomando m y n de la primera fórmula, si llamamos p=n q=m-n, m=p+q, obtendremos: r=n(m-n)=pq; Z = m2 + n2 = (p+q)2 + p2 = 2pq+2p2+q2 ; Y = m2 – n2 = (p+q)2 - p2 = 2pq+q2 ; X = 2mn = 2(p+q)p = 2pq+2p2
Este desarrollo demuestra fácilmente la primera de las propiedades que incluimos a continuación
Propiedades
Regla de Golomb
Se le da el nombre de Regla de Golomb a un conjunto de marcas señaladas
en una regla imaginaria, tal que todas las diferencias entre marcas sean
distintas. Por ejemplo, estas:
Las seis marcas presentan las quince diferencias
1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,12,14,16,17 y 19 distintas. Se llama orden de la regla al
número de marcas, en este caso 6, y longitud a la mayor diferencia entre ellas,
19 en el ejemplo.
Como lo importante del tema son las diferencias, se suele hacer coincidir la
primera marca con el 0. De esta forma, la anterior regla quedaría así:
Estas marcas poseen las mismas diferencias, pero no abarcan todas las posibles
medidas. Por ejemplo, con esta regla no se podría medir una distancia
(diferencia) de 13. Una regla que mida todas las longitudes posibles recibe el
nombre de perfecta, y si es la más corta dentro de su orden, óptima. Por
ejemplo, {0,1,4.6} forman una regla perfecta, pues se pueden medir con ellas las
longitudes 1,2,3,4,5 y 6.
Conjunto de Sidon
Un conjunto de números naturales se llama de Sidon
cuando todas las sumas posibles entre sus elementos son distintas. Por ejemplo
{3,5,8,9} produce las sumas 8,11,12,13,14 y 17.
Se puede demostrar que un conjunto finito de Sidon es también una regla de
Golomb, y a la inversa (si se prescinde del convenio de comenzar por cero). Por
tanto, un conjunto finito es de Sidon si produce diferencias entre sus elementos
todas distintas. Intenta demostrarlo, que no es difícil.
Muchos matemáticos han estudiado estos conjuntos, entre ellos Erdös. Una de las
cuestiones que estudió fue la del número máximo de elementos que puede tener un
conjunto de Sidon incluido en el conjunto {1…N}.
Temáticos
Sucesión de números naturales
Es toda función definida de N (conjunto de los números naturales) en N. A los elementos orígenes de la función les llamaremos índices, y a las imágenes elementos de la sucesión.
En la práctica es una secuencia ordenada de números naturales
del tipo 2,4,7,11,12,....representada por los símbolos
a1, a2, a3, a4, ...an,
... en la que an es el elemento
y n el índice.
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Dispones de un completo Visor de sucesiones |
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Sucesión o progresión aritmética
Es aquella en la que cada término es igual al anterior sumado con un número constante llamado diferencia. Su fórmula de recurrencia es: a1=a; an=an-1+d, donde a (valor inicial) y d (diferencia) son constantes.
Sucesión o progresión geométrica
Es aquella sucesión en la que cada término es igual al anterior multiplicado por un número constante llamado razón. El primer término se define aparte.
Números de Catalan
Llamaremos números de Catalan a los términos de la sucesión 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796,...
Fueron descubiertos por Euler al estudiar las particiones de los polígonos convexos en triángulos que no se intersecten. Así, el cuadrado se puede dividir en triángulos de dos formas distintas, el pentágono de 5, y así con todos. Intenta dibujar las particiones.
Su generación mediante un procedimiento recursivo se obtiene de esta forma:
Añadimos un 1 a la sucesión y, entonces, basta hacer Cn+1 = Cn*(4n-6)/n
Para n>2 su fórmula explícita es
Estos números también equivalen a las formas de introducir paréntesis (que todos encierren dos elementos) dentro de n símbolos. Por ejemplo, para los símbolos abcd existen 5 formas (número de Catalan para n=4) de introducir paréntesis.
((ab)(cd)) (((ab)c)d) (a(b(cd))) (a((bc)d)) ((a(bc)d)
También coinciden, en la Teoría de Grafos, con el número de árboles plantados trivalentes.
Se llama sucesión de Fibonacci a la siguiente: 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...que cumple que cada elemento es suma de los dos anteriores, definiendo además a1 como 1 y a2 como 1
Dos términos consecutivos de la sucesión son siempre primos entre sí.
Para justificar esta propiedad hay que recordar que si un factor primo divide a
ambos, dividirá a su diferencia que sería el término anterior, y reiterando,
llegaríamos a que el factor dividiría a 1, lo que nos llevaría a una
contradicción.
Cada número es la suma de números combinatorios i sobre j en
los que i+j=n con i<=n
El cociente entre cada elemento y el anterior tiende al número
áureo.
Para todo n>1 se cumple que un+1.un-1 = un2 + (-1)n
Si sumamos los n primeros términos y además una unidad, nos resulta el término (n+2)-ésimo.
Una sucesión complementaria de la anterior es la de números Anti-Fibonacci, en la que cada número es la diferencia de los dos anteriores. Si comenzamos con 0 y 1, resultan:
0,1,-1,2,-3,5,-8... Equivale a considerar la sucesión de Fibonacci prologada a la izquierda; -8, 5. -3, 2,-1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8...
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Números de Perrin
Se definen como los anteriores, mediante una definición por recurrencia:
P(0)=3, P(1)=0, P(2)=2, P(n)=P(n-2)+P(n-3)
Sus primeros términos son: 3, 0, 2. 3, 2, 5, 5, 7, 10, 12, 17, 22, ...
Fue estudiada por Lucas y por Perrin. Su principal propiedad es:
Si n es primo, divide a P(n)
Así, 2 divide a 2, 3 a 3, 5 a 5, 7 a 7, 11 a 22, etc.
Lo contrario no es cierto: si n es compuesto, no se puede afirmar que no divida a P(n). Se han encontrado contraejemplos, como el número 271441, compuesto, que divide a P(271441). Los números que cumplen esto reciben el nombre de pseudoprimos de Perrin.
El cociente P(n)/P(n-1) tiene como límite el número plástico 1,3247179572..., raíz de la ecuación x3 = x + 1.
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Sucesión de Padovan
Es la sucesión definida por recurrencia:
P(0)=1, P(1)=1, P(2)=1, P(n)=P(n-2)+P(n-3)
Sus primeros términos son: 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, ...
El cociente P(n)/P(n-1) también tiene como límite el número plástico 1,3247179572...
Ecuación diofántica
Una ecuación diofántica es aquella, generalmente de al menos dos incógnitas, definida en el conjunto de los enteros tanto para sus coeficientes como para los valores que puedan tomar las incógnitas.
Sistema diofántico
Es aquel que está formado por ecuaciones diofánticas.
Ecuación diofántica lineal
La ecuación diofántica de tipo lineal más sencilla es la del tipo Ax+By=C
Para que tenga solución ha de ser C múltiplo de D=MCD(A,B). Se resuelve considerando el teorema que afirma que existen dos enteros m y n tales que mA+nB=D. Los valores de m y n se calculan mediante el algoritmo de Euclides y el algoritmo de las reducidas o convergentes.
Efectivamente, si consultas la teoría de fracciones continuas verás que la diferencia entre dos reducidas consecutivas equivale a una fracción de numerador la unidad y de denominador el producto de sus denominadores. Esta propiedad también se cumple entre la última reducida y la fracción dada.
Vemos cómo se aprovecha esta propiedad para resolver la ecuación diofántica lineal
Sea, por ejemplo, la ecuación 244X+108Y=112.
Simplificamos: 61X+27Y=28, con MCD(61,27)=1
Buscamos las reducidas de la fracción 61/27 y elegimos la última 9/4
Se cumplirá, según la propiedad citada, que 61*4-27*9=1, luego 4 y -9 serán las soluciones de 61X+27Y=1. Bastará multiplicar por el término independiente 28 para obtener una solución: X=4*28 = 112 e Y=-9*28 = -252
Las demás soluciones se obtienen mediante las paramétricas
X=112-27v
Y=-252+61v
Si se desean soluciones positivas deberemos ajustar el parámetro v
Ecuación pitagórica
Es la que tiene la forma x2 + y2 = z2
Llamaremos soluciones primitivas x0, y0 y z0 a aquellas que no tienen divisores comunes. Se puede demostrar que z0 es impar y las otras dos, una par y otra impar.
Las soluciones primitivas se obtienen mediante las fórmulas
X = m2 + n2
Y = m2 – n2
Z = 2mn
con m y n primos entre sí y de distinta paridad, con m>n.
Si multiplicamos cualquier conjunto de soluciones primitivas por un mismo número, obtendremos infinitas soluciones.
Puedes experimentar con esta ecuación usando el Buscador de Números Naturales.
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Es la ecuación ax2+1 = y2
Si a es cuadrado perfecto, no existen soluciones a esta ecuación, pero si no lo es, obtendremos infinitas soluciones.
Esta ecuación no la estudió Pell (fue un error de Euler, que le dio ese nombre), pero sí Fermat y Wallis.
Es útil en muchos problemas, como el de hallar números triangulares y cuadrados a la vez.
Puedes experimentar con esta ecuación usando el Buscador de Números Naturales
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Definición
Llamamos fracción continua a la expresada de esta forma:
donde a es entero y b, c…son enteros positivos llamados cocientes (o
cocientes parciales). Toda fracción ordinaria se puede expresar de esta forma, y
todo número irracional admite aproximaciones mediante desarrollos de este tipo.
Si se exige que el último cociente sea distinto de 1 esta representación es
única.
Las fracciones continuas también se expresan
mediante el conjunto ordenado de los cocientes: [a, b, c, d...]
Caso 1: Fracción ordinaria
Los cocientes a, b, c,… son los que aparecen en el
algoritmo de Euclides para el cálculo del m.c.d. de dos números. Así, por
ejemplo, para encontrar el m.c.d. de 345 y 1280, en el algoritmo se obtienen los
siguientes cocientes:
En el desarrollo mediante fracciones continuas de 1280/345 vuelven a aparecer
los mismos cocientes 3,1,2,2,….¡porque se trata del mismo algoritmo orientado de
forma diferente! En la siguiente imagen, capturada de la hoja de cálculo
fraccont.ods,
puedes comprobar la evidente igualdad de la serie de cocientes. Comprueba que,
efectivamente, es válido este desarrollo:
Estos desarrollos son finitos, porque así lo es el conjunto de los coeficientes del algoritmo de Euclides. Veremos más adelante que en el caso de irracionales son infinitos. En ambos casos se puede demostrar que son únicos.
Convergentes
Para un desarrollo cualquiera en fracción continua
se llaman reducidas o convergentes a los desarrollos
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a los que nombraremos como C0, C1, C2, C3... En el caso del ejemplo obtendríamos:
3=3; 3+1/1=4; 3+1/(1+1/2)=11/3…
Cumulantes
Los convergentes son fundamentales en los desarrollos de las funciones
continuas, como se verá más adelante. El algoritmo más sencillo para crearlos
consiste en comenzar con el cálculo de los cocientes mediante el algoritmo de
Euclides y después añadir dos filas de numeradores y denominadores para las
convergentes tal como se ve en la imagen, comenzando con 0 y 1 para los
numeradores y 1, 0 para los denominadores. En el ejemplo 1280/345 quedaría así
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3 | 1 | 2 | 2 | 4 | 2 |
| 0 | 1 |
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| 1 | 0 |
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Después las fracciones reducidas o convergentes se obtienen mediante un
algoritmo clásico llamado de “los cumulantes”.
Consiste en construir dos sucesiones recurrentes del tipo
Pn = pn-1*an+pn-2
Se multiplica cada cociente superior por el último numerador o denominador, sumando posteriormente el penúltimo:
En realidad lo que se hace es "deshacer" las operaciones del Algoritmo de Euclides.
Las convergentes o reducidas poseen varias propiedades importantes. Destacamos alguna:
Aproximación diofántica
Es evidente que las reducidas aproximan la
fracción que se haya expresado en forma continua. Así, 115/31 es una
aproximación a 256/68 en el ejemplo anterior, Lo interesante es que también
pueden aproximare a los números irracionales. Por ejemplo, la fracción
3650401/2107560 es una muy buena aproximación de la raíz cuadrada de 3
(coinciden en los trece primeros decimales)
Cualquier número expresado en forma decimal puede representarse mediante una
fracción continua. Si el número es racional, ésta será finita, pero si es
irracional no podrá serlo, y tendríamos que prolongar el desarrollo de la
fracción continua hasta el infinito. En los siguientes párrafos veremos cómo.
Un caso muy interesante es el de los irracionales cuadráticos, que, como
demostró Lagrange, presentan desarrollos periódicos.
¿Cómo desarrollar un decimal cualquiera en fracción continua exacta (caso
racional) o aproximada (si es irracional)?
La idea es: separamos la parte entera y la parte decimal del número N=e+d, y la
decimal la expresamos así: N=e+1/(1/d). Volvemos a separar parte entera y
decimal de 1/d y reiteramos, con lo que irán apareciendo los cocientes enteros
de una fracción continua.
Probamos con la raíz cuadrada de 3. Los cálculos serían:
1,73205080757 = 1+ (1/(1/1,73205080757) =
1+ 1/1,36602540378 = 1+ 1/(1+1/2,73205080760) =
1+1/(1+1/(2+1/1,36602540378) = ….
Al salir este último número se descubre la periodicidad, luego 1,73205080757
equivale a la fracción continua
[1,1,2,1,2,1,2,….] que es periódica por tratarse de un irracional cuadrático.
A continuación destacamos algunos desarrollos importantes:
Números metálicos
Son soluciones de ecuaciones cuadráticas del tipo
x2 - bx - 1 = 0
Número de oro
Es solución de la ecuación x2-x-1 = 0
Número de plata
Es solución de la ecuación x2-2x-1 = 0
Número de bronce
Es solución de la ecuación x2-3x-1 = 0
Ecuación de Pell
Una aplicación importante de las fracciones continuas es la resolución de la ecuación de Pell
Se llama ecuación de Pell (por error, porque Pell no la estudió) a la ecuación
diofántica cuadrática X2 - DY2 = 1, con X e Y variables
enteras y D número entero positivo no cuadrado perfecto. Existe una variante con
el segundo miembro -1 que se resuelve de forma similar, con algunas
restricciones, y también se consideran los casos en los que se trate de
cualquier número entero.
En su resolución hay que distinguir dos problemas:
Primera solución
Una primera solución no es difícil de encontrar en
general.
(a) Puedes acudir a un simple tanteo entre cuadrados perfectos. Por ejemplo, una
solución de X2 - 6Y2 = 1 es X0=5 Y0=2.
Con una hoja de cálculo no es tarea muy complicada.
(b) Las fracciones continuas también son útiles en la resolución de esta
ecuación. Basta para ello desarrollar la raíz cuadrada de D mediante ellas y,
según vimos en una sección anterior, aprovechar la periodicidad del
desarrollo. En el caso de la ecuación de Pell basta tomar las reducidas
anteriores a la finalización del primer periodo.
En la imagen observarás que la solución X0=5,Y0=2 aparece
antes del final del primer periodo [2,4] en el desarrollo por fracciones
continuas. Después siguen otras: X=49, Y=20, X=485, Y=198, etc.
En nuestro modelo de hoja de cálculo que
recomendamos más abajo basta escribir el valor de D y el segundo miembro +1 ó -1
y la hoja se encarga de desarrollar la raíz cuadrada de D mediante fracciones
continuas:
Siguientes soluciones
Según la teoría del anillo Q(√D), que no podemos desarrollar aquí, las primeras
soluciones, escritas como X0+Y0 (√D) constituyen una
unidad del anillo, y también lo serán todas sus potencias, por lo que las
siguientes soluciones provendrán de los desarrollos de las expresiones
agrupando después los términos que no contienen el radical como valor de Y y los
que sí lo contienen como valor de X. Este método puede ser fatigoso, por lo que
es mejor ir obteniendo las distintas soluciones por recurrencia. En efecto, de
la anterior consideración se deduce que
O bien, separando términos:
Estas son las fórmulas que hemos usado en la hoja de cálculo.
Puedes consultar la búsqueda de la primera solución por fracciones continuas y la recurrencia para las siguientes en las hojas de cálculo pell.ods para Calc y pell.xls para Excel
Por ejemplo, intenta resolver esta cuestión:
¿Qué cuadrado perfecto de diez cifras, al quitarle una
unidad se puede descomponer en cinco cuadrados perfectos idénticos?
